fisika pasar modal 1

Sejarah mencatat babak baru. Tahun 1997, ranah keilmuan

manusia telah bertambah dengan terbitnya istilah ’econophysi-

cs ’ (ekonofisika). Istilah ini pertama kali digunakan dalam

sebuah workshop di kota Budapest Hungaria pada bulan Juli,

’Workshop on econophysics’ (De Liso dan Filatrella, 2001, hlm.

2). Maka, mulai saat itu frasa ekonofisika tertera dan mengalir

dalam bentangan peradaban manusia.

Konferensi ilmiah pertama yang membahas ini diadak-

an 2 tahun kemudian (1999) oleh Himpunan Fisika Eropa

(European Physical Society) dengan tajuk International Ap-

plications of Physics in Financial Analysis di Dublin Irlandia

dan dilanjutkan di Liège setahun berikutnya (2000) (Sima-

nungkalit, 2002; Stauffer, 2000; Surya, 2002). De Liso dan

Filatrella (2001) menyatakan bahwa beberapa artikel  generasi

16 Selayang Pandang Ekonofisika

awal yang mengupas konsep-konsep ini antara lain An Intro-

duction to Econophysics oleh Mantegna dan Stanley tahun

2000, Theory of Financial Risk: From Statistical Physics to

Risk Managament oleh Bouchaud dan Potters tahun 2000 dan

An Intoduction to High Frequency Finance oleh Dacorragna

et al tahun 2001.

Sebenarnya, sejarah ekonofisika tidak hanya bermula pada

tahun 1997. Tahun ini  lebih tepat jika sekedar dipan-

dang menjadi penanda bahwa nama ekonofisika baru lahir.

Acapkali, econophysics juga disebut dengan phynance (fisika

keuangan). Namun, Stauffer (2000) menyatakan istilah eco-

nophysics jauh lebih berkembang dibanding phynance. De

Liso dan Filatrella (2001) menyatakan bahwa kata economics

dan physics dalam frasa econophysics merupakan cermin dari

kerja para fisikawan yang mulai menerapkan fisika statistik

ke dalam ranah keuangan pada masa-masa itu. Jika ditilik

dengan cakupan yang lebih luas, yakni dengan memandang

ekonofisika sebagai interaksi timbal balik antara ekonomi dan

fisika, maka penelusuran terhadap rekam jejak ekonofisika

menemukan akarnya jauh sebelum bilangan tahun ini .

Pada tahun 1973, Black dan Scholes memaklumkan sebuah

cara baru dalam menghitung harga opsi yang adil di pasar mo-

dal dengan memakai  model gerak Brown geometrik dan

persamaan rambatan panas. Model ini sebenarnya merupak-

an penyempurnaan dari model yang dirancang oleh Bachelier

pada tahun 1900. Pada waktu itu Bachelier memakai 

pendekatan limit jalan acak (gerak Brown).

Bahkan yang lebih mengejutkan, karya klasik Bapak Eko-

nomi Adam Smith (1723-1790) yang berjudul The Principles

which Lead and Direct Philosophical Enquiries; Illustrated by

17

the History of Astronomy —sering disingkat sebagai The His-

tory of Astronomy saja1 — secara jelas membuktikan bahwa

ia memakai  teori gerak planet untuk menjelaskan prinsip-

prinsip ekonominya (De Liso dan Filatrella, 2001; Simanung-

kalit, 2002; Supratikno, 2002). Teorinya yang menyatakan,

"fungsi pasar mirip dengan fungsi matahari dalam sistem ta-

ta surya" atau pandangannya tentang "tangan-tangan gaib"

(the invisible hands) yang menciptakan kesetimbangan pasar

(market equilibrium) menunjukkan betapa kuat pengaruh ini.

Karenanya mudah untuk dimafhumi jika Dagun (1992) banyak

memakai  kiasan-kiasan dalam fisika di dalam artikel nya

yang berjudul Pengantar Filsafat Ekonomi demi menjelaskan

konsep-konsep ekonomi.

Sedini sebelum workshop yang fenomenal itu, Stanley da-

lam Nature edisi 29 Februari 1996 telah mencoba memberikan

takrif apa itu ekonofisika. Menurutnya, ekonofisika meru-

pakan penerapan teknik-teknik fisika untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan ekonomi.

Dengan demikian, tujuan dari ekonofisika adalah menerap-

kan gagasan ilmu fisika dengan sebaik-baiknya ke dalam ranah

ekonomi. Bisa jadi, ekonofisika akan mengurai hukum-hukum

alam dan perilaku manusia dalam gejala ekonomi, dan proses

ini akan berujung pada lahirnya sebuah ekonomi baru.

Dalam konteks ini, takrif ekonofisika yang diberikan oleh

Wang et al. (2005) menjadi takrif yang lebih rinci daripada

takrif Stanley. Ekonofisika merupakan disiplin yang menerap-

kan dan menawarkan gagasan, metode dan model dalam fisika

1Bentuk penyingkatan judul karya Smith ini sebenarnya amat rancu,

sebab singkatan ini  menunjukkan seolah-olah karya Smith berisi

tentang kronologis ilmu astronomi saja

18 Selayang Pandang Ekonofisika

statistik dan kompleksitas untuk menganalisis data-data dari

gejala ekonomi.

Sebenarnya, sampai sekarang belum ada takrif yang terang

mengenai ekonofisika. Kendati demikian, jumlah karya ilmiah

di bidang ini sejak 1992 sampai April 2003 telah mencapai

662 dengan lebih dari 20 jurnal (Fan et al., 2004).

1.1 Hubungan Fisika dan Ekonomi

Selain menunjukkan bahwa gagasan-gagasannya banyak diil-

hami oleh fisika, karya Smith The History of Astronomy juga

menunjukkan ada tumpang tindih yang tak terduga dengan

Thomas Kuhn mengenai konsep paradigma (De Liso dan Fi-

latrella, 2001, hlm. 5-8). Merujuk pada pendapat Skinner

dan Loasby, Smith merupakan perintis konsep paradigma di

ekonomi (De Liso dan Filatrella, 2001) sebagaimana Kuhn di

fisika (Capra, 2001).

Ternyata tidak hanya Smith yang tertarik dengan metode-

metode dalam fisika. Ada sederetan ekonom yang menyusul

jejak Smith, seperti Jevons, Walras, Marshall, Stigler, Kim,

Lux dan pemenang anugerah nobel ekonomi 1990 Harry Mar-

kowitz2. Marshall dengan adikaryanya The Principle of Eco-

nomics 1890 telah mengubah ilmu ekonomi politik (political

economy)3 menjadi ekonomi (economics) dengan model-model

2Karyanya yang berjudul Portfolio Selection dianggap merupakan

titik tonggak lahirnya teori portofolio modern. Karya ini pulalah yang

mengantarkannya mendapat anugerah nobel ekonomi 1990.

3Ilmu ekonomi lahir ketika Adam Smith mengeluarkan karyanya,

Wealth of Nation 1776. Generasi setelahnya menyebut Smith sebagai

pendiri madzhab klasik dalam ekonomi. Saat itu ilmu ekonomi lahir

sebagai political economy dan bukan economics. Ekonomi politik adalah

1.1 Hubungan Fisika dan Ekonomi 19

yang bersifat matematis. Adikarya Marshall ini dianggap seba-

gai tonggak kelahiran madzhab neo-klasik (Mubyarto, 1987).

Sebelumnya, Jevons dan Walras telah mempeloporinya pada

1860-an. Penetrasi model-model matematis ke dalam ilmu

ekonomi saat itu dilakukan melalui fisika dan menempatkan

fisika sebagai benchmark (tolok ukur) (De Liso dan Filatre-

lla, 2001). Sedangkan Stigler yang berasal dari Perguruan

Ekonomi Chicago memaklumkan simulasi Monte Carlo yang

diterapkan untuk menelisik pasar pada tahun 1964. Kim dan

Markowitz mencoba membuat model kejatuhan Wall Stre-

et 1987 yang mirip dengan model yang digunakan fisikawan.

Dan penelitian Lux berdasar pada hasil kerja para fisikawan,

seperti misalnya Haken (Stauffer, 2000).

Ekonomi merupakan disiplin tentang perilaku manusia

yang berhubungan dengan manajemen sumberdaya, keuang-

an, pendapatan, produksi dan konsumsi barang-barang dan

jasa (Wang et al., 2005). Sehingga ekonomi biasanya dii-

dentikkan dengan ilmu sosial. Namun dalam beberapa hal,

hukum-hukum ekonomi menunjukkan keserupaan dengan ilmu

alam. Meskipun ekonomi berkepentingan dengan motivasi

dan keputusan manusia, namun seringkali perilaku kolektif

dapat diterangkan dengan proses yang tertentu, setidaknya

dengan cara statistik. Dagun (1992, hlm. 265) menguatkan

bahwa aktivitas bebas manusia tidak semata-mata merupakan

akibat kehendak bebas tetapi muncul dari motif-motif. Maka,

motif-motif inilah yang memungkinkan untuk diterapkannya

statistik.

Mengingat ekonomi selama ini dimasukkan dalam ranah

suatu ilmu yang membahas hubungan antara proses-proses politik dan

ekonomi (Mubyarto, 1987, hlm. 7).

20 Selayang Pandang Ekonofisika

ilmu sosial, maka ada baiknya jika menengok pendapat ’Abdu-

lrahim. Dalam angapannya, ’Abdulrahim memandang bahwa

sebenarnya ilmu sosial adalah juga ilmu pasti (eksakta). Me-

nurutnya, dikotomi ilmu menjadi ilmu sosial dan ilmu eksakta

adalah tidak tepat. Secara lengkap pendapat ’Abdulrahim

dapat dilacak dalam kutipan berikut:

"Biasanya para ahli ilmu sosial menganggap hukum-

hukum yang berkenaan dengan manusia, baik seba-

gai individu maupun masyarakat tidak termasuk

hukum yang pasti. Oleh karena itu mereka memi-

sahkan ilmu sosial dari ilmu alam dan matematika

(ilmu-ilmu eksakta). Mereka mengatakan ilmu sosi-

al tidak pasti. Padahal sebenarnya hukum-hukum

sosial itupun eksak, sebagaimana diterangkan da-

lam Al Quran itu. Namun variabelnya sangat

banyak, sama banyaknya dengan jumlah manusia

di dunia ini dikalikan dengan segala macam kei-

nginan mereka, sehingga sangat sukar diperkirakan

korelasi antara variabel yang satu dengan yang la-

in. Mereka yang mengatakan hukum-hukum sosial

yang universal itu tidak eksak, pada dasarnya ka-

rena kegagalan mereka menemukan korelasi antara

variabel yang sangat banyak ini. Tetapi dengan

majunya ilmu statistik sesudah mendapat bantuan

komputer sekarang ini, dapat dibuktikan betapa

anggapan para pakar ilmu-ilmu sosial selama ini

adalah salah." (’Abdulrahim, 1997, hlm. 95)

Pencantuman kutipan di atas dalam bagian dari pembahasan

ini tidak berkepentingan terhadap perdebatan dikotomi ilmu

1.1 Hubungan Fisika dan Ekonomi 21

sosial dan eksakta. Titik tekan yang hendak diajukan di

sini ialah bahwa unit-unit yang berinteraksi dalam sistem

ekonomi dapat didekati dengan cara pandang yang sama ketika

fisikawan mengamati sistem fisis pada skala mikroskopik (Lux,

2000). Johnson (Jawa Pos, 23/09/2002) dari laboratorium

Clarendon menunjukkan ada keterkaitan yang sangat kuat

antara kegiatan keuangan dengan perilaku dari zarah, atom,

dan molekul.

Tsallis, seperti yang ditulis oleh Kebamoto (2002), juga

mempunyai kesimpulan yang paralel dengan Johnson. Me-

nurutnya, dengan statistik termodinamika, manusia dapat

dimodelkan sama dengan atom dalam segala hal kecuali ma-

salah intelegensi dan budaya. Dengan kata lain, andaikan

masalah intelegensi dan budaya ini untuk sementara diabaik-

an, maka kelakuan manusia dapat dipandang seperti kelakuan

atom. Ringkasnya, sistem ekonomi sama dengan sistem fisika.

Paradigma ini semakin menemukan kekuatannya ketika

merujuk pada hakikat manusia dan benda-benda nirnyawa.

Atom adalah unsur pembentuk yang sama dalam manusia,

batu, gunung, air, matahari, hewan dan tumbuhan. Ibnul

Qayyim (2005) menyebutkan bahwa setiap makhluk bernyawa

atau nirnyawa seluruhnya mempunyai roh. Pada aras ini, ma-

ka tidak ada lagi beda antara manusia atau atom. Penyebutan

manusia bersamaan dengan matahari, tumbuhan dan hewan

melata dalam Kitab Suci dapat dipahami dalam kerangka

ini .

"Apakah kamu tidak mengetahui, bahwa kepada

Allah bersujud apa yang ada di langit, di bumi, ma-

tahari, bulan, bintang, gunung, pohon-pohonan,

22 Selayang Pandang Ekonofisika

binatang-binatang yang melata dan sebagian besar

daripada manusia?" (QS Al Hajj: 18)

Beberapa ayat lain yang semakna tentang masalah ini antara

lain dapat ditemui dalam Al Isra’: 44, Shaad: 18, dan An

Nuur: 41.

Topik penelitian yang digarap oleh Amaral et al. (2003)

memberi kejelasan terhadap masalah ini. Dalam kajiannya,

Amaral et al. memusatkan pada 3 jejaring, yakni jejaring

ekonomi dan teknologi, jejaring sosial dan terakhir adalah

jejaring fisis dan biologis. Dalam jejaring pertama dimana

diteliti jalur transmisi dan lalu lintas di bandara (penumpang

dan pesawat) menunjukkan bahwa keduanya mematuhi hukum

pangkat. Demikian pula dalam jejaring kedua dan ketiga yang

juga mematahui hukum pangkat. Pada akhirnya, kesimpulan

yang didapat Amaral et al. dari kajian itu adalah fenomena-

fenomena ini  dapat dikiaskan dengan teori fenomena

kritis (critical phenomena). Kesimpulan yang sama juga

didapat oleh Drăgulescu dan Yakovenko (2004) yang meneliti

kelakuan uang, pendapatan dan kekayaan masyarakat dengan

mekanika statistik sebagai pisau telisiknya. Sedangkan Stanley

et al. (2002) berhasil memakai  paradigma transisi fase dan

fenomena kritis untuk menerangkan kemajemukan pengaturan

diri dalam ekonomi dan keuangan.

Gagasan tentang pengaturan diri ini sebenarnya banyak

ditemukan di sepanjang sejarah ilmu-ilmu sosial yang digunak-

an untuk mendeskripsikan proses pengaturan diri kehidupan

sosial. ’Tangan gaib’ dalam teori ekonomi Smith dapat di-

kategorikan di sini. Contoh lainnya ialah ’check and balance’

dalam Undang-Undang Amerika Serikat dan hubungan tim-

1.2 Model Ekonofisika 23

bal balik tesis dan antitesis dalam dialektika Hegel dan Mark

(Capra, 2001, hlm. 97).

Interaksi yang begitu erat antara fisika dan ekonomi ini

membuat De Liso dan Filatrella (2001) dan Stauffer (2000)

menyatakan dengan tegas bahwa ekonofisika bukanlah ranah

keilmuan yang baru. Merujuk pada dua pendapat ini, maka

anggapan Kebamoto (2002) dan Mart (2001) bahwa ekonofisi-

ka merupakan gagasan fisika yang baru atau bidang penelitian

baru dalam fisika dapat dinilai sebagai anggapan yang kurang

tepat. Pada aras ini pula, kecurigaan Mubyarto (2002) ter-

hadap ekonofisika sehingga mengimbau LIPI dan AIPI untuk

"membahas ekonofisika secara serius" dapat dilihat sebagai

pendapat yang tidak mempunyai pijakan ilmiah.

1.2 Model Ekonofisika

Dalam konteks ekonomi, model merupakan sebuah bangu-

nan teoritis yang menggambarkan proses ekonomi dengan

seperangkat peubah (variabel) dan seperangkat hubungan

kekerabatan logis dan kuantitatif antar peubah-peubah terse-

but (Boediono, 1981; Wikipedia, 2005). Sebagaimana dalam

ranah ilmu lainnya, maksud dari suatu model adalah menye-

derhanakan proses-proses yang majemuk (kompleks). Dalam

pengertian yang sekarang, setiap model dalam ekonomi selalu

dikaitkan dengan bentuk matematika (De Liso dan Filatrella,

2001, hlm. 10), meskipun ada juga model kualitatif seperti

misalnya perencanaan skenario yang memungkinkan peristiwa-

peristiwa mendatang dikerjakan dan analisis pohon keputusan

non-numerik. Namun, model-model kualitatif bukanlah model

yang cermat (Wikipedia, 2005).

24 Selayang Pandang Ekonofisika

Sebelumnya, Boediono (1981, hlm. 1-2) bahkan lebih tegas

dengan menyatakan bahwa ekonom tidak lagi puas dengan

jawaban bahwa "bila harga beras naik maka jumlah yang

diminta akan turun". Ekonom menghendaki jawaban yang

lebih rinci dan cermat, seperti "bila harga beras naik 10%,

maka berapa persen penurunan jumlah yang diminta". Atau,

berapa kenaikan maksimal jumlah uang yang beredar agar

inflasi tidak melebihi suatu nilai tertentu.

Terkait dengan ekonofisika, sedikitnya ada 2 pendekatan

(Baaquie et al., 2002; Mart, 2001; Stauffer, 2000; Wang et

al., 2005) yang bisa digunakan untuk memodelkan dinamika

perkembangan sektor-sektor ekonomi, yaitu model analisis

data dan penggunaan model-model fisika sebagai model acuan.

Mengacu pada pembagian fisika yang menjadi 2 kelompok:

fisika teori dan fisika eksperimen (dengan fisika komputasi bisa

bekerja pada keduanya), Stauffer (2000) menyebut pendekatan

pertama sebagai ekonofisika eksperimen dan pendekatan kedua

sebagai ekonofisika teori. Sedangkan Baaquie et al. (2002)

menyebut pendekatan pertama sebagai pendekatan bottom up

dan pendekatan kedua sebagai pendekatan top down.

1.2.1 Model Analisis Data

Di dalam fisika, metode statistik (lebih tepat disebut fisika

statistik) digunakan ketika berhadapan dengan masalah inte-

raksi antarsub-unit dengan jumlah sangat besar, sementara

interaksi individual antarsub-unit itu sendiri sangat sulit un-

tuk dijelaskan. Dengan demikian, metode ini memberikan

prediksi sifat kolektif dari kumpulan sub-unit.

Kritik yang dilontarkan oleh ilmuwan pada metode ini me-

nyangkut keabsahan penggunaan metode fisika pada masalah-

1.2 Model Ekonofisika 25

masalah sosial yang dikatakan memiliki jumlah sub-unit sa-

ngat terbatas.

Di dalam termodinamika, di mana fisika statistik sangat

sukses untuk menjelaskan fenomena alam, jumlah sub-unit

yang dibahas umumnya dapat mencapai 1020. Meski demikian,

simulasi-simulasi komputer untuk gas dan zat cair sudah

menunjukkan hasil yang sangat memuaskan untuk sistem

yang terdiri dari 20 hingga 30 atom saja, yang menunjukkan

bahwa metode ini sudah dapat bekerja untuk sistem-sistem

kecil.

Kritik lain adalah lagi-lagi menyangkut perbedaan antara

manusia dan sistem zarah (elektron, nukleon, atom, atau mo-

lekul) yang dibahas fisika statistik, karena manusia dikatakan

memiliki daya adaptasi terhadap fluktuasi-fluktuasi ekono-

mi, sedangkan kumpulan zarah akan terus patuh mengikuti

hukum alam jika terjadi fluktuasi pada keadaan di sekitarnya.

Kritik ini ternyata tidak sepenuhnya benar, karena pene-

litian dengan metode fisika statistik ternyata cukup sukses

jika diterapkan pada masalah non-coding DNA, inflasi paru-

paru manusia, interval denyut jantung, bahkan pada masalah

perkembangan kota dan beberapa sifat hewan, yang tentu

saja memiliki daya adaptasi tersendiri untuk mengantisipasi

perubahan yang terjadi dengan lingkungannya (Amaral et al.,

1999). Model ekonofisika dengan analisis data ini misalnya

dapat dijumpai dalam pustaka Drăgulescu dan Yakovenko

(2004), Amaral et al. (2003), dan Stanley et al. (2002).

1.2.2 Model acuan

Dalam model ini, model-model yang telah jamak dikenal da-

lam fisika dimanfaatkan sebagai acuan untuk memodelkan

26 Selayang Pandang Ekonofisika

sistem maupun gejala ekonomi. Wang et al. (2005) menye-

butkan bahwa model spin telah digunakan oleh Krawiecki et

al. untuk menerangkan pengambilan keputusan pemain pasar

modal dan Wu et al. memakai nya untuk menerangkan

kelakuan manusia dalam aktivitas ekonomi yang lain. Da-

lam model ini , status agen merupakan salah satu dari

{1, 0,−1} yang ditafsirkan sebagai membeli, menunggu dan

menjual atau hanya salah satu dari {1,−1}. Sehingga kea-

daan status dari sistem keseluruhan dengan N agen adalah

{S1, S2, S3, · · · , SN}. Keuntungan setiap agen ditentukan oleh

fungsi hasil E

(

~S, ~J, IEs

)

, dengan ~J adalah interaksi terus-

menerus dari seluruh transaksi dan IEs merupakan peubah

internal seperti harga saham atau informasi eksternal seperti

lingkungan dan rekam jejak perusahaan. Karena setiap agen

ingin memaksimalkan keuntungannya, maka

ωi (Si(t)→ Si(t+ 1)) ∼ e

∆Ei

T (1.1)

dengan T merupakan koefisien evaluasi rerata, yang berarti

pengaruh sebuah keputusan untuk suatu keuntungan. Bentuk

keputusan agen ini muncul dari distribusi ansambel dalam

mekanika statistik.

Model gas ideal juga digunakan sebagai model acuan da-

lam ekonofisika (Drăgulescu dan Yakovenko, 2000). Model

ini mencoba menerangkan persaingan dan perkawanan antar

perusahaan atau antar individu atau agen. Di sini, pertu-

karan acak kekayaan satu dengan lainnya dipandang seperti

pertukaran acak tenaga dalam gas ideal. Sehingga distribusi

kesetimbangan akan berbentuk eksponensial.

Lux (2000) bahkan melakukan sebuah gebrakan dengan

1.3 Topik Ekonofisika 27

menghadapkan hipotesis pasar efisien vis a vis hipotesis per-

tukaran agen. Gagasannya terinspirasi dari hasil kajian fisika

statistik, bahwa sistem fisis yang terdiri dari banyak zarah

yang berinteraksi akan mematuhi hukum universal (scaling

law) yang bebas dari detil mikroskopik. Ini dapat disepa-

dankan dalam ekonomi keuangan dimana unit-unit yang ber-

interaksi adalah pemain pasar dan scaling law yang bekerja

adalah kenyataan yang selalu mengikuti tren semisal klaster

volatilitas. Hipotesis pasar efisien memegang peran kunci

dalam teori keuangan. Hipotesis ini merupakan andaian pen-

ting dalam beberapa teori keuangan seperti teori struktur

modal, model penentuan harga aset (Capital Asset Pricing

Model/CAPM) dan model penentuan harga opsi (Sartono,

1996).

Model yang lain misalnya penggunaan persamaan difusi

(Baaquie et al., 2002) yang secara gemilang telah ditunjukkan

oleh Black dan Scholes ketika mendesain model penentuan

harga opsi. Selain persamaan difusi, model Black-Scholes juga

memakai  gerak Brown geometrik sebagai model acuannya.

Model Black-Scholes merupakan salah satu contoh dari model

ekonomi standard (Ilinski, 1999; Wikipedia, 2005). Bahkan,

model ini berhasil memenangkan anugerah nobel ekonomi

1997. Maka, dapat dipahami jika Sembel dan Baruno (2002)

menyebutnya sebagai sebuah teori besar.

1.3 Topik Ekonofisika

Dari uraian di muka, tampak bahwa ranah ekonofisika teramat

luas untuk dikaji. Aneka topik ekonofisika yang tersedia tidak

mungkin dikupas semua dalam kesempatan ini. Karenanya,

28 Selayang Pandang Ekonofisika

artikel  kecil ini perlu membatasi dan menyempitkan topik yang

akan dikaji.

Masalah yang akan menjadi topik ialah model penentuan

harga opsi. Mengapa opsi? Opsi (option) merupakan produk

derivat yang menyatakan hak seseorang (namun bukan kewa-

jiban) untuk membeli saham atau aset lainnya dengan harga

tertentu sebelum atau pada saat yang telah dijadwalkan.

Opsi merupakan surat berharga yang istimewa. Sebab,

jika dibandingkan dengan aset keuangan yang lain, investasi

dalam opsi membutuhkan modal yang jauh lebih kecil tetapi

menjanjikan keuntungan yang jauh lebih besar. Andai pun

mengalami kerugian, maka kerugian yang diderita karena

investasi dalam bentuk opsi jauh lebih kecil dibanding jika

berinvestasi pada aset keuangan lainnya. Selain itu, opsi juga

bisa digunakan untuk mempertahankan portofolio investasi.

Bahkan, Weston dan Copeland (1995) menulis bahwa seluruh

kontrak keuangan dapat disederhanakan hanya menjadi 4

surat berharga saja, 2 diantaranya adalah opsi.

Namun, sebagai produk derivat yang sepenuhnya bergan-

tung pada surat berharga acuan dan kesepakatan dalam kon-

trak, harga opsi selalu berubah-ubah terhadap waktu. Maka,

pertanyaan mendasar yang lekat dengan opsi adalah berapa

harga yang pantas (adil) untuk dikeluarkan oleh pembeli opsi

dan siasat investasi seperti apa yang harus dipasang oleh pen-

jual opsi selama masa kontrak untuk meminimalkan risiko

kerugian. Pada gilirannya, jika harga opsi ini berhasil diru-

muskan secara eksak maka model penentuan harga opsi akan

menjadi semacam lingua franca bagi semua pemain di pasar

saham.

Ada banyak opsi yang dikenal di pasar saham. Kita ak-

1.3 Topik Ekonofisika 29

an membatasi kajian pada jenis opsi Eropa dengan surat

berharga acuan adalah saham. Opsi Eropa merupakan opsi

yang hanya bisa dilaksanakan pada saat jatuh tempo saja.

Model ekonofisika yang akan dipakai adalah model kedua,

yakni memakai  model dalam fisika sebagai acuan untuk

menurunkan model penentuan harga opsi.

Model penentuan harga opsi merupakan topik penting da-

lam manajemen keuangan dan investasi 4. Kajian mengenai

harga opsi dipelopori oleh Bachelier dalam disertasi doktor-

nya di Universitas Sorbonne Perancis tahun 1900. Bachelier

menghitung harga opsi secara analitik dengan memakai 

gerak Brown dan andaian pengembalian (return) saham yang

memiliki distribusi normal.

Hakiman (2005) mengatakan bahwa persamaan Bachelier

dapat ditulis sebagai berikut

C = SN

(

S −K

σ

√

T − t

)

−KN

(

S −K

σ

√

T − t

)

+σ

√

T − tN

(

K − S

σ

√

T − t

)

(1.2)

dengan S : harga saham saat ini, K : harga laksana saat jatuh

tempo dan N : kumulatif distribusi normal.

Namun, penemuan Bachelier ini menimbulkan masalah

yang serius yaitu dimungkinkannya harga negatif baik pada

harga saham maupun harga opsi. Meskipun begitu, pijakan

yang diletakkan Bachelier merupakan andaian penting dalam

4Lihat kepustakaan Basuki et al. (1997); Berlianta (2005); Brigham

dan Houston (2001); Fabozzi (2000); Hakiman (2005); Halim (2003);

Hull (1989); Husnan (1995); Kamaruddin (1996); Keown et al. (2000);

Rutterford (1993); Sartono (1996); Sharpe et al. (1999); Sundjaja (2003);

Weston dan Copeland (1995); Yuliati et al. (1996)

30 Selayang Pandang Ekonofisika

perkembangan model penentuan harga opsi selanjutnya. Se-

jarah perkembangan model harga opsi sejak Bachelier dapat

dilihat dalam pustaka Hakiman (2005) dan Hull (1989).

Perkembangan yang paling menonjol adalah ketika Black

dan Scholes memaklumkan model penentuan harga opsinya

pada tahun 1973. Bisa dikatakan model Black-Scholes inilah

yang kemudian menjadi pijakan bagi model-model berikutnya.

Model Black-Scholes kemudian dikembangkan oleh Merton,

Ingersoll, Garman dan Kohlagen, Geske, Roll dan Whaley

(Copeland dan Weston, 1988; Hakiman, 2005; Hull, 1989).

Sampai sekarang, hampir seluruh artikel -artikel  teks mana-

jemen keuangan dan investasi yang dirujuk sebagai pustaka

dalam artikel  ini hanya menyebut ada 2 model penentuan har-

ga opsi, yaitu model Black-Scholes dan model binomial yang

dibangun oleh Cox dan Ross 3 tahun setelah Black-Scholes.

Dibandingkan dengan model Black-Scholes, model binomial

tidak mengalami perkembangan yang pesat. Bahkan, mo-

del Black-Scholes merupakan contoh yang baik dari model

ekonomi (Wikipedia, 2005).

Selain itu, model Black-Scholes juga bisa didekati dengan

beragam teknik dalam fisika. Ilinski, sebagaimana dikutip

oleh Mart (2001), mengklaim bahwa persamaan model Black-

Scholes bisa diturunkan dengan konsep kuantum. Untuk

melompat dari dunia kuantum ke pasar saham Ilinski meng-

ganti medan elektromagnetik yang mengatur interaksi antar

zarah bermuatan dengan medan arbitrasi (arbitrage) yang

menjelaskan perubahan harga opsi serta saham sebagai fungsi

waktu.

Baaquie et al. (2002) memakai  manipulasi matema-

tika untuk mengubah persamaan Black-Scholes menjadi per-

1.3 Topik Ekonofisika 31

samaan yang mirip dengan persamaan turunan Schrödinger

yang merupakan persamaan dasar dalam mekanika kuantum

non relativistik. Teknik yang dipakai Baaquie adalah dengan

memakai  integral lintasan Feynmann.

Dalam manajeman keuangan dan investasi, opsi mempu-

nyai kedudukan yang sangat penting. Ini tercermin dalam

ungkapan Weston dan Copeland (1995) yang menegaskan

bahwa seluruh jenis kontrak keuangan pada dasarnya meru-

pakan gabungan dari hanya 4 bentuk surat berharga, yaitu:

saham, obligasi bebas risiko, opsi beli dan opsi jual. Atau,

jika disempitkan hanya mejadi saham, obligasi dan opsi saja.

Bahkan sebelum Weston dan Copeland (1995), Cox, Ross

dan Rubinstein dalam Journal of Financial Economics (Co-

peland dan Weston, 1988, hlm. 240) telah mengemukakan

bahwa model penentuan harga opsi dapat bekerja di ham-

pir semua ranah keuangan. Hampir semua surat berharga

perusahaan dapat ditafsiri dengan opsi beli dan opsi jual.

Pernyataan-pernyataan ini pada akhirnya hanya membuat

model penentuan harga opsi semakin bertenaga. Karenanya,

pemahaman yang baik mengenai model penentuan harga opsi

Black-Scholes merupakan jalan lurus untuk masuk ke ranah

ekonofisika. Dari sini pemandangan ekonofisika akan segera

terbentang.

Takrif Peluang

Ruang Peluang

Peluang peristiwa bersyarat

Peluang peristiwa saling bebas

Peubah Acak

Fungsi agihan

Nilai harap dan variansi

Kovariansi dan korelasi

2 — Teori Peluang

Istilah percobaan dalam matematika/fisika ialah sebuah usaha

yang dilakukan untuk mendapatkan satu dari sekian banyak

hasil keluaran yang mungkin. Salah satu contoh dari perco-

baan ini  adalah usaha untuk mendapatkan hasil ’muka’

dalam pelantunan sebuah koin. Usaha ini termasuk percobaan

sebab dalam pelantunan sebuah koin ada dua hasil keluaran

yang mungkin yaitu ’muka’ dan ’belakang’. Demikian pula

usaha untuk mendapatkan ’nilai 1’ dalam pelantunan sebuah

dadu juga merupakan percobaan, sebab nilai 1 merupakan

salah satu dari hasil keluaran yang mungkin yaitu nilai 1, 2,

3, 4, 5 dan 6.

Dalam percobaan pelantunan sebuah koin dan dadu di

atas, munculnya ’muka’ dan ’nilai 1’ disebut sebagai hasil

percobaan atau hasil keluaran (outcome). Jika semua ha-

34 Teori Peluang

sil keluaran yang mungkin dari sebuah percobaan disatukan

dalam sebuah himpunan, maka himpunan demikian disebut

sebagai ruang sampel (sample space). Dalam percobaan di

atas, maka ruang sampel bagi percobaan pelantunan sebuah

koin adalah himpunan yang beranggotakan muka dan bela-

kang. Ruang sampel dari percobaan pelantunan sebuah dadu

beranggotakan nilai-nilai 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Setiap percobaan selalu hanya memiliki satu ruang sampel.

Jika dilakukan percobaan pelantunan dua buah koin, maka

ruang sampel yang muncul adalah himpunan pasangan (muka,

muka), (muka, belakang), (belakang, muka), dan (belakang,

belakang). Ruang sampel ini jelas berbeda dengan ruang sam-

pel percobaan pelantunan sebuah koin. Karena itu, terdapat

perkawanan satu-satu antara percobaan dan ruang sampel:

satu percobaan←→ satu ruang sampel. (2.1)

Setiap tepat satu anggota dari ruang sampel disebut titik

sampel . Satu atau beberapa titik sampel yang termuat dalam

sebuah himpunan ruang sampel disebut peristiwa atau kejadi-

an (event). Jadi peristiwa merupakan himpunan bagian dari

ruang sampel. Kaitan ini menyiratkan bahwa ruang sampel

sebenarnya juga merupakan peristiwa yaitu sebuah peristiwa

yang memuat seluruh titik sampel yang ada. Peristiwa seperti

ini disebut peristiwa pasti (sure event), sebab setiap keluaran

yang muncul selalu merupakan anggota dari peristiwa itu. Se-

baliknya, himpunan kosong yang juga merupakan himpunan

bagian dari ruang sampel merupakan peristiwa mustahil (im-

posible event), sebab tidak mungkin sebuah percobaan tidak

memiliki hasil keluaran apapun. Apabila sebuah peristiwa

2.1 Takrif Peluang 35

hanya memuat satu titik sampel saja maka peristiwa demikian

disebut peristiwa unsuriah (elementary event) atau peristiwa

keunsuran.

Setiap peristiwa mempunyai ukuran kecenderungan untuk

terjadi yang berbeda-beda nilainya. Ukuran kecenderungan ini

dinamakan peluang terjadinya peristiwa atau cukup disebut

peluang saja.

2.1 Takrif Peluang

Ada beberapa cara untuk menguraikan takrif (definition)

peluang sebuah peristiwa. Andaikan peristiwa A merupak-

an peristiwa yang memenuhi A 6= peristiwa pasti dan A 6=

peristiwa mustahil, maka peluang terjadinya A dilambangkan

dengan P(A) dan dapat ditakrifkan menurut beberapa cara.

Yang pertama adalah takrif klasik. Menurut takrif ini,

peluang P(A) peristiwa A ditentukan secara a priori tanpa

pelaksanaan percobaan yang sebenarnya. Takrif ini mempu-

nyai pengandaian bahwa suatu percobaan selalu menghasilkan

N hasil keluaran yang tidak mungkin terjadi bersama-sama

dan masing-masing punya peluang yang sama untuk terjadi,

maka:

P(A) = NA

N

(2.2)

dengan NA menyatakan banyaknya hasil keluaran dalam A.

Karena peristiwa A bukan peristiwa mustahil dan juga bukan

peristiwa pasti atau 0 ≤ NA ≤ N , maka 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Meskipun takrif ini mudah dimengerti dan digunakan, tetapi

persyaratan ’mempunyai peluang yang sama’ dalam praktik

36 Teori Peluang

mungkin sekali tidak masuk akal, disamping keterbatasan

penggunaannya yang hanya untuk percobaan dengan ruang

sampel berhingga.

Yang kedua adalah takrif empiris. Peluang A ditakrifkan

sebagai kekerapan nisbi (relative frequency, frekuensi rela-

tif) terjadinya peristiwa A, jika percobaan ini  diulang

sebanyak mungkin. Artinya

P(A) = lim

N→∞

NA

N

. (2.3)

Dibandingkan dengan takrif klasik, takrif ini lebih masuk akal

sebab tidak diperlukan persyaratan seperti takrif klasik. Ha-

nya saja takrif ini mengharuskan percobaan dapat dilakukan

sebanyak mungkin. Takrif ini disebut juga takrif kekerapan

nisbi dan biasa digunakan sebagai penjelas dari takrif klasik

atau bisa juga sebaliknya.

Yang ketiga adalah takrif subjektif. Nilai sebuah pe-

luang dalam takrif ini lebih berdasar pada pertimbangan-

pertimbangan perseorangan atau subjektif dan biasanya di-

lakukan apabila pengertian-pengertian objektif tidak dapat

digunakan, misalnya dalam keadaan dimana percobaan belum

atau bahkan tidak pernah dilakukan. Karena itu takrif ini

hanya menunjukkan tingkat keyakinan terhadap peristiwa A

dalam 2 pilihan: terjadi atau tidak terjadi.

Yang keempat adalah takrif aksiomatis. Sesuai dengan

namanya, dalam takrif ini peluang diandaikan memenuhi

sejumlah aksioma tertentu. Dalam takrif ini, andaikan Ω

adalah ruang sampel suatu percobaan, A adalah himpunan

peristiwa maka P(A) adalah peluang terjadinya peristiwa A

jika memenuhi 3 aksioma berikut:

2.2 Ruang Peluang 37

Aksioma 2.1. P(A) ≥ 0

Aksioma 2.2. P(Ω) = 1

Aksioma 2.3. Jika A1 ∩ A2 = {∅} , maka P(A1 ∪ A2) =

P(A1) + P(A2)

Pendekatan secara aksiomatis dalam memberikan takrif

terhadap peluang seperti di atas diperkenalkan oleh A. N.

Kolmogorov pada tahun 1933. Dalam artikel  ini, pembahas-

an tentang teori peluang selanjutnya akan berangkat dari

pendekatan aksiomatis ini.

2.2 Ruang Peluang

Syarat-syarat sebagaimana termaktub dalam aksioma (2.1),

(2.2), dan (2.3) merupakan aksioma teori peluang atau juga

dikenal sebagai aksioma Kolmogorov. Dalam perkembangan

teori peluang, seluruh kesimpulan berdasar secara langsung

maupun tidak langsung pada aksioma-aksioma di atas dan

hanya pada aksioma-aksioma di atas. Berikut adalah akibat-

akibat dari aksioma di atas:

1. Peluang peristiwa mustahil adalah nol, dapat ditulis

P(∅) = 0. Karena A ∩ ∅ = ∅ dan A ∪ ∅ = A, maka

P(A) = P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅).

2. Untuk sebarang peristiwa A, berlaku

P(A) = 1− P(A′) ≤ 1 (2.4)

dengan A′ merupakan imbangan atau pelengkap (com-

plement) bagi A dalam ruang sampel Ω. Karena A∪A′ =

38 Teori Peluang

Ω dan A ∩ A′ = ∅, maka 1 = P(Ω) = P(A ∪ A′) =

P(A) + P(A′).

3. Untuk sebarang peristiwa A1 dan A2 berlaku

P(A1∪A2) = P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2) ≤ P(A1)+P(A2).

(2.5)

Seperti telah disinggung di atas, peristiwa merupakan

himpunan bagian dari ruang sampel Ω. Apabila A1 dan A2

keduanya merupakan peristiwa, maka A1∩A2 dan A1∪A2 juga

merupakan peristiwa. Hal ini menyebabkan bahwa gabungan

dan irisan berbagai peristiwa juga mempunyai nilai peluang

yang dapat dihitung. Konsep yang membahas tentang hal ini

dikenal sebagai lapangan (field).

Suatu lapangan L adalah himpunan yang beranggotakan

himpunan-himpunan dan L 6= ∅ sedemikian rupa sehingga

jika A ∈ L maka A′ ∈ L (2.6)

dan

jika A1 ∈ L dan A2 ∈ L maka A1 ∪ A2 ∈ L. (2.7)

Kedua sifat ini  merupakan syarat minimal sebuah

lapangan. Sifat-sifat lainnya adalah sebagai berikut:

jika A1 ∈ L dan A2 ∈ L maka A1 ∩ A2 ∈ L (2.8)

Dari persamaan (2.6) terlihat juga bahwa A1′ ∈ L dan A2′ ∈

L. Dengan memakai  persamaan (2.7) dan (2.6) pada

2.2 Ruang Peluang 39

himpunan A1′ dan A2′, dapat disimpulkan bahwa

A1

′ ∪ A2′ ∈ L, (A1′ ∪ A2′)′ = A1 ∩ A2 ∈ L.

Suatu lapangan juga memuat peristiwa pasti dan peristiwa

mustahil: Ω ∈ L dan ∅ ∈ L. Oleh karena L tidak kosong,

maka L memuat paling sedikit satu anggota A, akibatnya

(dengan memakai  persamaan (2.6)) L juga harus memuat

A′. Jadi,

A ∪ A′ = Ω ∈ L dan A ∩ A′ = ∅ ∈ L.

Jika sekarang diandaikan A1, A2, . . . adalah barisan tak

hingga himpunan anggota L dan jika gabungan maupun iris-

an himpunan-himpunan ini  juga ada dalam L, maka

L disebut lapangan Borel B. Dengan demikian, penger-

tian peristiwa dapat disempurnakan menjadi sekumpulan

himpunan-himpunan bagian dari Ω yang membentuk lapang-

an Borel. Akibat lanjutan dari pengertian ini adalah dapat

ditentukannya peluang yang tidak hanya pada gabungan dan

irisan berhingga peristiwa-peristiwa, namun juga pada limit-

nya. Dengan demikian jika peristiwa A1 ∩ A2 ∩ . . . = ∅ maka

P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P(A1) ∪ P(A2) ∪ . . . . (2.9)

Namun demikian, sebenarnya amat sulit untuk menen-

tukan peluang keunsuran masing-masing peristiwa jika ruang

sampel Ω memiliki jumlah anggota tak hingga. Misalkan Ω

adalah himpunan seluruh bilangan riil. Himpunan-himpunan

bagiannya dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik pada

garis riil. Untuk membangun ruang peluang pada garis riil,

40 Teori Peluang

maka seluruh selang (interval) x1 ≤ x ≤ x2 dengan segenap

gabungan dan irisannya dipandang sebagai peristiwa. Le-

bih rincinya dapat dilihat misalnya dalam pustaka (Rosyid,

2005) bab I. Peristiwa-peristiwa ini membentuk suatu lapang-

an L yang merupakan lapangan Borel terkecil yang memuat

separuh garis x ≤ xi untuk semua bilangan riil xi. Untuk

melengkapi ciri Ω, akan dicari peluang peristiwa (x ≤ xi).

Misalkan bahwa α(x) adalah fungsi sedemikian hingga∫ ∞

−∞

α(x) dx = 1, dan α(x) ≥ 0. (2.10)

Maka peluang peristiwa (x ≤ xi) ditakrifkan dengan integral

P(x ≤ xi) =

∫ xi

−∞

α(x) dx. (2.11)

Bangun persamaan (2.11) ini dapat digunakan untuk me-

nentukan peluang seluruh peristiwa dalam Ω. Misalnya, seka-

rang dapat dihitung peluang (x1 < x ≤ x2) yang terdiri dari

titik-titik pada selang (x1, x2] dengan

P(x1 < x ≤ x2) =

∫ x2

x1

α(x) dx. (2.12)

Persamaan (2.12) dapat dibuktikan dengan mengingat bahwa

irisan antara (x ≤ x1) dan (x1 < x ≤ x2) merupakan ∅ dan

gabungan keduanya sama dengan (x ≤ x2). Berdasarkan pada

aksioma (2.3), didapat

P(x ≤ x1) + P(x1 < x ≤ x2) = P(x ≤ x2) (2.13)

2.2 Ruang Peluang 41

dan dengan memakai  persamaan (2.11) dan (2.12) maka

selanjutnya∫ x1

−∞

α(x) dx+

∫ x2

x1

α(x) dx =

∫ x2

−∞

α(x) dx. (2.14)

Persamaan di atas merupakan bukti yang jelas bagi persamaan

(2.12). Dengan demikian, jika Ω terdiri dari anggota tak

hingga maka peluang peristiwa di dalamnya dapat ditentukan

dengan memakai integral.

2.2.1 Peluang peristiwa bersyarat

Seandainya ada 2 peristiwa dimana peluang peristiwa kedua

hanya bisa diketahui setelah ada pengetahuan yang cukup

tentang peristiwa pertama, maka peluang peristiwa seperti

ini disebut sebagai peluang bersyarat. Peluang bersyarat

peristiwa B jika diketahui peristiwa A dilambangkan dengan

P(B|A) dan ditakrifkan sebagai

P(B|A) = P(A ∩ B)P(A) (2.15)

dengan syarat bahwa nilai P(A) tidak sama dengan nol. Bi-

langan P(B|A) dapat dibaca ’peluang B jika A diketahui’.

Persamaan (2.15) yang berbentuk nisbah dapat juga diubah

dalam bentuk perkalian menjadi

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A). (2.16)

Dengan memakai  aturan rantai, persamaan (2.16) dapat

diperluas untuk peristiwa yang lebih banyak. Seandainya ada

3 peristiwa yaitu A,B, dan C maka persamaan (2.16) akan

42 Teori Peluang

menjadi

P(A ∩B ∩ C) = P(A)P(B|A)P(C|A ∩ B). (2.17)

Perampatan (generalization) terhadap sebarang peristiwa

A1, A2, . . . , An ∈ Ω akan menghasilkan bentuk seperti ber-

ikut

P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) . . .

. . .P(An|A1 ∩ . . . ∩ An−1). (2.18)

2.2.2 Peluang peristiwa saling bebas

Seperti sudah disinggung sebelumnya bahwa peristiwa ber-

syarat (B|A) didasarkan pada anggapan bahwa peristiwa B

hanya dapat diketahui jika peristiwa A sudah diketahui se-

belumnya. Dengan demikian terjadinya peristiwa B sangat

tergantung pada peristiwa A dalam peristiwa bersyarat (B|A).

Artinya, kedua peristiwa ini  tidak saling bebas sebab ke-

hadiran salah satu peristiwa menjadi kebutuhan bagi peristiwa

yang lain. Dua peristiwa A dan B akan disebut saling bebas

(independent) jika dan hanya jika memenuhi dua persamaan

berikut:

P(B|A) = P(B) (2.19)

dan

P(A|B) = P(A). (2.20)

Jika tidak memenuhi kaitan dalam 2 persamaan di atas,

2.3 Peubah Acak 43

maka peristiwa A dan B dikatakan tidak saling bebas. Dengan

mengaitkan persamaan (2.16) dapat juga ditentukan syarat

agar peristiwa A dan B saling bebas, yakni

P(A ∩ B) = P(A)P(B). (2.21)

Untuk 3 peristiwa yaitu A,B, dan C yang saling bebas

satu dari yang lain, persamaan (2.21) dapat ditulis kembali

menjadi

P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) (2.22)

sehingga perampatan terhadap kesalingbebasan sejumlah n

peristiwa A1, A2, . . . , An akan menghasilkan bentuk berikut

P(A1 ∩ A2 . . . ∩ An) = P(A1)P(A2) . . .P(An). (2.23)

2.3 Peubah Acak

Andaikan Ω merupakan ruang sampel dari sebuah percobaan.

Suatu fungsi yang mengaitkan setiap anggota ruang sampel

dengan suatu bilangan riil disebut sebagai peubah acak

(random variable). Dalam percobaan pelantunan sebuah ko-

in di atas, seandainya hasil keluaran yang muncul adalah

’muka’ kemudian diberi nilai 1 dan ’belakang’ diberi nilai -1,

maka kemunculan nilai 1 atau -1 sangat bergantung pada

hasil keluaran ’muka’ atau ’belakang’ pada pelantunan yang

dilakukan. Munculnya hasil keluaran ’muka’ atau ’belakang’

dalam percobaan ini  tidak dapat dipastikan, semuanya

serba berkemungkinan. Dengan demikian kemunculan nilai 1

dan -1 sebagai peubah dalam pelantunan ini  juga ber-

44 Teori Peluang

kemungkinan. Oleh karena kemunculan nilai 1 dan -1 tidak

dapat dipastikan, kemunculannya dapat disebut terjadi secara

acak. Inilah mengapa peubah yang bernilai 1 untuk hasil

muka dan -1 untuk hasil belakang dalam percobaan di atas

disebut sebagai peubah acak.

Suatu peubah acak dinyatakan dengan suatu huruf kapital

dan nilainya dinotasikan dengan suatu huruf kecil. Jika X

menyatakan suatu peubah acak, maka nilai dari X dinyatakan

dengan x. Sehingga pernyataan {X ≤ x} menyatakan peris-

tiwa peubah acak X bernilai kurang dari atau sama dengan

x.

Dalam sebuah percobaan dengan ruang sampel Ω, lapang-

an Borel B yang beranggotakan himpunan-himpunan bagian

dari Ω yang disebut peristiwa dan suatu peluang yang di-

tentukan pada peristiwa-peristiwa ini , sebuah peubah

acak X : Ω → R merupakan suatu fungsi. Ini mengandung

pengertian bahwa X adalah peubah acak dan untuk semua

−∞ < a < b <∞ dapat dinyatakan bahwa

X−1((a, b)) := {ω ∈ Ω : a < X(ω) < b} ∈ B. (2.24)

Lambang X−1((a, b)) merupakan bayangan balikan (inverse

image) dari (a, b).

Dengan demikian, suatu peubah acak riil pada ruang sam-

pel Ω relatif terhadap lapangan Borel B adalah fungsi bernilai

riil pada Ω sedemikian rupa sehingga bayangan balikannya

merupakan anggota lapangan Borel B.

Suatu peubah acak X, selain merupakan fungsi bernilai

riil dapat juga merupakan himpunan X(Ω) = {X(ω)|ω ∈ Ω},

sehingga jika pada Ω terdefinisikan peubah acak Y : Ω→ R

2.3 Peubah Acak 45

dan tetapan α, β ∈ R maka kaitan antara peubah acak X, Y

dan tetapan α, β dapat disajikan sebagai berikut:

(αX + βY )(ω) := αX(ω) + αY (ω), (2.25)

(XY )(ω) := X(ω)Y (ω), (2.26)(

X

Y

)

(ω) :=

X(ω)

Y (ω)

, Y 6= 0. (2.27)

Peubah acak X dikatakan peubah acak tercacah jika se-

mua nilai yang mungkin dari X membentuk suatu himpunan

tercacah atau terbilang {x1, x2, . . .}. Peubah acak X dika-

takan kontinyu jika semua nilai (range) dari X merupakan

himpunan yang kontinyu atau tak tercacah.

2.3.1 Fungsi agihan

Dalam telaah peubah acak, peristiwa (X ≤ x) menyajikan

himpuan bagian Ω yang beranggotakan semua ω sedemikian

rupa sehingga X(ω) ≤ x. Jadi, peristiwa (X ≤ x) bukan

merupakan himpunan bilangan, melainkan himpunan hasil

percobaan. Peristiwa (x1 ≤ X ≤ x2) adalah serupa. Peristiwa

ini  menyatakan himpunan bagian Ω yang terdiri dari

hasil-hasil ω sedemikian rupa sehingga x1 ≤ X(ω) ≤ x2

dengan x1 dan x2 merupakan dua bilangan yang diketahui.

Demikian pula untuk peristiwa (X = x) juga menyatakan

himpunan bagian Ω yang beranggotakan semua ω sedemikian

rupa sehingga X(ω) = x. Jadi, apabila I himpunan bagian

dari garis riil R, maka (X ∈ I) menyatakan himpunan bagian

dari Ω yang beranggotakan semua ω sedemikian rupa sehingga

X(ω) ∈ I.

Anggota-anggota himpunan Ω yang termuat dalam peristi-

46 Teori Peluang

wa (X = x) akan berubah bila x memiliki berbagai nilai. Aki-

batnya nilai peluang dari peristiwa (X = x) yaitu P(X = x),

adalah bilangan yang bergantung pada nilai x. Bilangan ini

diberikan oleh

P(x) := P(X−1(x)) := P(ω ∈ Ω|X(ω) ∈ x) (2.28)

yang disebut sebagai hukum peubah acak X. Hukum ini

dicirikan secara lengkap oleh fungsi agihannya (distribution

function), yang merupakan fungsi

F (x) = P(ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x) (2.29)

untuk setiap x dari −∞ sampai∞. Jadi, F (x) merupakan pe-

luang munculnya nilai peubah acak X dalam selang (−∞, x],

yakni peluang munculnya nilai X yang kurang atau sama

dengan x.

Contoh 2.1. Andaikan pada pelantunan sebuah koin nilai

peluang untuk hasil keluaran ’muka’ sama dengan m dan

peluang untuk ’belakang’ sama dengan b, kemudian peubah

acak X sedemikian rupa sehingga

X(m) = 1 X(b) = 0.

Bila x ≥ 1, maka X(m) = 1 ≤ x dan X(b) = 0 ≤ x. Karena

itu,

F (x) = P(X ≤ x) = P({m, b}) = P(Ω) = 1 x ≥ 1.

(2.30)

2.3 Peubah Acak 47

Bila 0 ≤ x < 1, maka X(m) = 1 > x dan X(b) = 0. Karena

itu,

F (x) = P(X ≤ x) = P({b}) 0 ≤ x < 1. (2.31)

Bila x < 0, maka X(m) = 1 > x dan X(b) = 0 > x. Karena

itu pula,

F (x) = P(X ≤ x) = P(∅) = 0 x < 0. (2.32)

Fungsi agihan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. F (+∞) = 1 dan F (−∞) = 0.

2. F (x) adalah fungsi yang tidak menurun: jika x1 < x2,

maka F (x1) ≤ F (x2).

3. Jika F (x0) = 0, maka F (x) = 0 untuk setiap x ≤ x0.

4. P(X > x) = 1− F (x).

5. Fungsi agihan F (x) malar (continue) dari kanan pada

setiap titik x ∈ R.

6. P(x1 < X ≤ x2) = F (x2)− F (x1).

7. P(X = x) = F (x)− lim→0F (x− ) dengan  > 0.

8. P(x1 ≤ X ≤ x2) = F (x2) − lim→0F (x1 − ) dengan

 > 0.

Dari persamaan (2.29) dan aksioma teori peluang dapat

diketahui bahwa peubah acak X mempunyai jenis-jenis ter-

tentu dalam fungsi agihannya. Jenis ini baru bisa diketahui

bila dapat dihitung dulu peluang P(X ∈ Ω), yakni bahwa

x ada dalam ruang sampel Ω dari sumbu x. Peubah acak

X disebut berjenis malar jika fungsi agihannya F (x) juga

malar. Untuk keadaan ini, lim→0 F (x− ) = F (x),  > 0 se-

hingga P(X = x) = 0. Peubah acak X disebut berjenis cacah

48 Teori Peluang

atau diskrit (discrete) bila F (x) berbentuk fungsi tangga atau

F (xi)− limxi→(xi − ) = P(X = xi) = pi.

Jika pada fungsi agihan dilakukan penurunan (derivation)

yang ditunjukkan oleh persamaan

ρ(x) =

dF (x)

dx

, (2.33)

maka ρ(x) disebut fungsi kerapatan (probablity-mass function)

peubah acak X. Untuk peubah acak X berjenis cacah yang

memiliki nilai-nilai xi dengan peluang pi, maka

ρ(x) =

∑

i

piδ(x− xi) pi = P(X = xi) (2.34)

dengan δ(x) menyatakan dorongan (impulsion). Mengingat

bahwa fungsi F (x) yang tidak menurun, maka ρ(x) ≥ 0.

Pengintegralan ρ(x) untuk selang (−∞, x] dan memakai 

sifat F (−∞) = 0 akan didapat

F (x) =

∫ x

−∞

ρ(ω) dω. (2.35)

Karena F (∞) = 1 maka bentuk di atas menghasilkan persa-

maan

∫∞

−∞ ρ(x) dx = 1 sehingga diperoleh F (x2)− F (x1) =∫ x2

x1

ρ)(x) dx atau

P(x1 < X ≤ x2) =

∫ x2

x1

ρ(x) dx. (2.36)

Jika peubah acak X berjenis malar maka himpunan pada ruas

kiri cukup diganti dengan (x1 ≤ X ≤ x2).

Disamping itu, dalam fungsi agihan juga dijumpai adanya

2.3 Peubah Acak 49

agihan bersyarat seperti saat membicarakan tentang peristiwa

bersyarat dalam ruang peluang. Agihan bersyarat F (x|A)

dari peubah acak X dengan diketahui A merupakan peluang

bersyarat untuk peristiwa (X ≤ x), yakni

F (x|A) = P(X ≤ x|A) = P(X ≤ x ∩ A)P(A) . (2.37)

Pada bentuk di atas, (X ≤ x ∩A) merupakan irisan peristiwa

(X ≤ x) dan A yakni peristiwa yng terdiri dari semua hasil ω

sedemikian hingga X(ω) ≤ x dan ω ∈ A.

Dalam telaah fungsi agihan di atas, fungsi agihan dapat

juga dimaknai sebagai pola agihan dari sekelompok peubah

acak. Dalam teori peluang, pola agihan yang sudah jamak

dikenal secara luas adalah fungsi agihan binomial, Poison,

Gauss, dan log-normal. Peubah acak X disebut mempunyai

agihan binomial orde n bila X memiliki nilai-nilai 0, 1, . . . , n

dengan peluang

P(X = k) =

(

n

k

)

pkqn−k, p+ q = 1 (2.38)

p menyatakan peluang peristiwa bercirikan tertentu (sukses)

dan q menyatakan peluang peristiwa yang tak bercirikan

tertentu itu (gagal) atau q = 1 − p. Fungsi agihan yang

bersesuaian dalam selang (0, n) diberikan oleh

F (n) =

n∑

k=0

(

n

k

)

pkqn−k. (2.39)

50 Teori Peluang

Bila n→∞, maka

lim

n→∞

P(X = k) = lim

n→∞

n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

pk(1− p)n−k

=

(np)k

k!

e−np (2.40)

yang kemudian dikenal sebagai agihan Poisson. Dalam fungsi

agihan binomial dan Poison, peubah k hanya boleh bervariasi

secara cacah dan positif. Fungsi agihan yang peubahnya bisa

bervariasi secara malar dari −∞ sampai ∞ adalah fungsi

agihan normal atau Gaussan yang dijabarkan oleh Gauss

dalam bentuk

N(x) =

1

σ

√

2π

e−

1

2

(x−µ

σ

)2 (2.41)

dengan variansi σ dan rataan µ.

Untuk agihan normal di atas, jika µ  1 pada x > 0,

maka

x = ln y, µ = ln y0, dx =

dy

y

(2.42)

sehingga bila dimasukkan dalam bentuk (2.41) akan menjadi

N(x)dx =

1

σ

√

2π

e

− 1

2

(

ln(y/y0)

σ

)2 dy

y

(2.43)

yang merupakan agihan log-normal.

Dalam hubungan pola agihan dan peubah acak di atas, ji-

ka peubah acak yang terlibat berjumlah mendekati tak hingga

maka pola agihannya akan selalu mengikuti fungsi agihan nor-

mal. Hal ini dapat ditunjukkan jika E(X1) {= E(X2) = · · · } =

2.3 Peubah Acak 51

µ dan Var(X1) {= Var(X2) = · · · } = σ2 > 0 maka

lim

n→∞

P

(

X1 + · · ·+Xn − nµ

σ

√

n

< x

)

=

1√

2π

∫ x

−∞

e

−u2

2 du = N(x)

(2.44)

Ini dikenal sebagai dalil limit pusat (the central limit theorem).

Dalil ini memberikan jaminan bahwa agihan peluang akan

selalu normal jika sejumlah besar peubah acak yang saling

bebas terpenuhi.

2.3.2 Nilai harap dan variansi

Salah satu cara untuk mencakup suatu agihan kemungkinan

menjadi satu nilai ialah dengan mengganti agihan ini  de-

ngan nilai harap (expectation) rataan (mean) peubah acaknya.

Nilai harap adalah suatu ukuran lokasi yang bisa memberi

gambaran tentang nilai rerata hasil percobaan jika percobaan

dilakukan secara berulang kali. Dengan demikian nilai harap

merupakan ukuran kecenderungan peubah acak. Bila X pe-

ubah acak yang malar dengan fungsi kerapatan ρ(x) maka

nilai harapnya diberikan oleh persamaan

E(X) =

∫ ∞

−∞

x ρ(x) dx. (2.45)

Untuk peubah acak berjenis cacah integral pada persamaan

di atas dapat ditulis sebagai jumlahan. Misalkan bahwa X

menjalani berbagai nilai xi dengan peluang pi. Untuk keadaan

52 Teori Peluang

ini

ρ(x) =

∑

i

pi δ(x− xi). (2.46)

Dengan memasukkan bentuk di atas pada (2.45) dan meng-

gunakan identitas∫ ∞

−∞

x δ(x− xi) dx = xi (2.47)

akan didapat

E(X) =

∑

i

pi xi, pi = P(X = xi). (2.48)

Untuk peubah acak yang bersyarat, maka tinggal dilakuk-

an penggantian notasi dalam kedua persamaan (2.45) dan

(2.48). Seandainya peubah acak X mensyaratkan diketahuinya

A maka kedua persamaan ini  akan menjadi

E(X|A) =

∫ ∞

−∞

x ρ(x|A) dx (2.49)

untuk peubah acak malar dan

E(X|A) =

∑

i

xiP(x = xi|A) (2.50)

untuk peubah acak cacah.

Jika nilai harap rataan memberi gambaran tentang suatu

nilai rerata hasil percobaan, maka ukuran keruncingan dari

grafik fungsi agihannya disajikan oleh apa yang disebut vari-

ansi. Semakin kecil nilai variansi semakin meyakinkan nilai

2.3 Peubah Acak 53

harap rataannya. Jadi variansi merupakan ukuran simpangan

atau penyebaran (dispersion) yang baik karena mencerminkan

besarnya simpangan tiap-tiap peubah acak. Semakin besar

nilai variansi suatu kelompok data semakin bervariasi kelom-

pok data ini . Variansi peubah acak X diberikan oleh

persamaan berikut

σ2 =

∫ ∞

−∞

(x− E(X))2 ρ(x) dx (2.51)

Dari persamaan di atas terlihat bahwa σ2 adalah juga nilai

harap dari peubah acak (X − E (X) )2. Dengan demikian

dapat ditulis

σ2 = E

(

(X − E(X))2)

= E

(

X2 − 2XE(X) + (E(X))2)

= E(X2)− 2E(X)E(X) + (E(X))2 (2.52)

sehingga

σ2 = E(X2)− (E(X))2 . (2.53)

Variansi mempunyai kelemahan karena sifatnya yang kua-

drat, padahal simpangan pada hakikatnya merupakan jarak

sehingga linier. Maka untuk mengatasi hal ini, variansi ditarik

akarnya yang positif sehingga diperoleh apa yang kemudian

disebut dengan simpangan baku (standard deviation) dan

dilambangkan σ. Simpangan baku lebih sering digunakan

daripada variansi. Simpangan baku berguna untuk mengukur

rerata jarak masing-masing individu terhadap nilai reratanya.

54 Teori Peluang

2.3.3 Kovariansi dan korelasi

Sebagaimana telah dijelaskan di atas, variansi digunakan

untuk mengukur tingkat variasi, namun hanya untuk satu

peubah acak saja, X saja atau Y saja. Untuk mengukur

tingkat variasi dua peubah acak X dan Y secara bersama-

sama (simultan) dapa digunakan kovariansi. Kovariansi dua

peubah acak X dan Y adalah ukuran keeratan hubungan atau

ukuran asosiasi antara kedua peubah acak X dan Y . Takrif

kovariansi dua peubah acak X dan Y adalah

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ). (2.54)

Kovariansi yang positif menunjukkan kenaikan X diikuti oleh

kenaikan Y dan penurunan X diikuti penurunan Y . Persama-

an kovariansi di atas menunjukkan kemiripan bentuk dengan

persamaan variansi (2.53). Seandainya peubah acak Y diganti

dengan peubah acak X maka kovariansi dua peubah acak X

merupakan variansinya sendiri. Dengan memakai  kaitan

ini dan andaikan X dan Y merupakan peubah acak dengan

rataan E(X), E(Y ) dan variansi σ2X , σ2Y , maka dari sini dapat

dibentuk peubah acak baru yakni

X ′ =

x− E(X)

σX

Y ′ =

y − E(Y )

σY

yang dengan mudah dapat dicari nilai kovariansinya, yaitu

Cov(X ′, Y ′) = E(X ′Y ′)−E(X)E(Y ) = Cov(X, Y )

σXσY

. (2.55)

2.3 Peubah Acak 55

Nisbah antara Cov(X, Y ) dan σXσY dalam persamaan di atas

disebut koefisien korelasi, diberi lambang r, sehingga

r =

Cov(X, Y )

σXσY

. (2.56)

Koefisien korelasi merupakan nilai untuk mengukur kuatnya

hubungan (corelation) antara peubah acak X dan Y sekaligus

arah hubungan itu. Spektrum nilainya membentang antara 0

dan ±1. Nilai ini sebanding dengan tingkat keeratan hubung-

an. Tanda (±) hanya menunjukkan arah hubungan, yakni (+)

menunjukkan hubungan yang searah dimana jika satu peubah

naik maka akan diikuti kenaikan peubah yang lain, sedangkan

tanda (−) menyatakan hubungan yang berlawanan arah. Saat

nilai koefisien korelasi sama dengan nol, kedua peubah acak

X dan Y disebut peubah acak yang tidak berkorelasi (tidak

ada hubungan). Ini terjadi ketika Cov(XY ) sama dengan nol

atau peubah acak X, Y keduanya saling bebas. Namun, bila

r = 0, hal ini tidak selalu menunjukkan bahwa peubah acak

X, Y keduanya saling bebas.

Dengan demikian, untuk dua peubah acak X, Y yang tak

berkorelasi berlaku persamaan

E(XY ) = E(X)E(Y ). (2.57)

Dua peubah acak X, Y dapat saling tak berkorelasi tanpa

keduanya harus bebas, tapi semua peubah acak bebas selalu

tidak berkorelasi. Jadi ketiadaan korelasi merupakan sifat

yang lebih lemah dari kebebasan.

Proses Martinggil

Proses Markov

3 — Proses Stokastik

Kata stokastik (stochastic) merupakan jargon untuk keacakan

(Kim, 2005, hlm. 50). Oxford dictionary (1993) menakrifk-

an proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang

memenuhi hukum-hukum peluang. Hull (1989, hlm. 62) me-

nyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu

dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) di-

katakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika

dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang su-

atu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka

barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya

jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur

peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian

yang demikian disebut stokastik.

Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan

58 Proses Stokastik

evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian

atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak

dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok

dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem.

Secara baku (formal), proses stokastik {X(t), t ∈ T}1 di-

takrifkan sebagai sebuah barisan peubah acak, yaitu untuk

setiap t ∈ T mempunyai peubah acak X(t). Seringkali penju-

rus (index, indeks) t ditafsirkan sebagai waktu, karena banyak

sekali proses stokastik yang terjadi pada suatu selang waktu.

Nilai peubah acak X(t) atau Xt disebut sebagai keadaan pada

saat t. Himpunan T disebut ruang parameter atau ruang pen-

jurus dari proses stokastik X dan himpunan semua nilai X(t)

yang mungkin disebut ruang keadaan dari X. Nilai himpunan

penjurus T dapat berupa himpunan yang anggotanya terca-

cah ataupun malar. Jika T merupakan himpunan tercacah,

misalnya N , maka proses stokastik dikatakan sebagai proses

waktu tercacah (discrete time process) atau juga dikenal se-

bagai rantai (chain). Jika T merupakan sub himpunan pada

garis bilangan riil, baik dengan selang terbuka atau tertutup,

maka proses stokastik yang demikian merupakan proses waktu

kontinu (continuous time process).

Setiap realisasi dari X dinamakan lintasan sampel (sample

path) dari X. Sebagai contoh, jika peristiwa terjadi secara

acak dalam waktu dan X(t) mewakili jumlah peristiwa yang

terjadi dalam [0, t], maka gambar 3.1 menyajikan sample path

1Dalam artikel  ini, lambang peubah acak X(t) seringkali ditulis juga

sebagai Xt. Sedangkan lambang penjurus t, acapkali ditulis dengan

huruf yang lain. Penggunaan lambang yang berbeda ini tidak akan

mengakibatkan kesalahan yang serius dalam memahami proses stokastik

dan keseluruhan artikel  ini.

59

X yang berhubungan terhadap peristiwa awal yang terjadi

pada saat t = 1, peristiwa berikutnya pada saat t = 3 dan

peristiwa ketiga pada saat t = 4.

Gambar 3.1: Sebuah lintasan dari X(t) = jumlah peristiwa

dalam [0, t]

Yang menjadi perhatian dari proses ini adalah kelakuk-

an proses setelah proses ini  berjalan lama. Mengingat

proses ini  memuat suatu ketidakpastian, maka secara

matematis kelakuan dari proses ini  dapat digambarkan

oleh agihan peluang dari X(t) atau fungsi dari X(t), untuk

t → ∞. Dari agihan peluang ini akan didapat beberapa

nilai harap dari beberapa besaran yang mungkin menjadi

perhatian.

Proses-proses stokastik dapat dikelompokkan berdasarkan

jenis ruang parameternya, ruang keadaannya, dan kaitan

antara peubah-peubah acak yang membentuk proses stokastik

ini .

60 Proses Stokastik

Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya,

proses-proses stokastik dapat dibedakan menjadi:

1. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan

ruang keadaan tercacah

Contoh: stasiun televisi yang paling banyak ditonton di

negara kita  atas survey bulanan, banyaknya sepatu yang

dibeli dari sebuah toko per hari.

2. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan

ruang keadaan tercacah

Contoh: banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan

sebuah kantor dalam selang waktu tertentu, banyaknya

tikus yang sudah terperangkap di suatu perangkap pada

selang waktu t sebarang.

3. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan

ruang keadaan malar

Contoh: volume air di suatu bendungan yang diteliti

tiap pukul 7 pagi, waktu untuk melayani mahasiswa ke-

n yang datang untuk meminta pelayanan administrasi

akademik.

4. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan

ruang keadaan malar

Contoh: volume air di suatu bendungan yang diteliti

pada waktu t sebarang.

Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang mem-

bentuknya, proses stokastik dapat dibedakan menjadi bebera-

pa kelas seperti proses Levy, proses Bernoulli, proses Markov,

proses martinggil, dan proses titik (point process). Dalam bu-

ku ini kelas proses stokastik yang hendak disajikan hanyalah

proses martinggil dan proses Markov.

3.1 Proses Martinggil 61

3.1 Proses Martinggil

Pada awalnya, martinggil (martingale) merujuk pada suatu

siasat bertaruh yang masyhur di abad ke-18 di Perancis (Wiki-

pedia, 2005). Dalam bahasa Perancis, kata martingale berarti

sebuah desain siasat taruhan untuk mendapatkan uang secara

pasti (kemenangan). Sebenarnya martingale berasal dari kata

martigues yang merupakan nama sebuah kota di Provence

Perancis (saat itu). Warga kota ini dikenal sangat suka untuk

menggandakan taruhan sehabis setiap kali kalah dengan mak-

sud untuk menutup kekalahannya yang lalu dengan harapan

kemenangan berikutnya (LeRoy, 1989, hlm. 1588). Dalam

kamus Oxford dictionary (1993), proses martinggil mengacu

pada sistem perjudian dimana harapan kemenangan akhir me-

rupakan keuntungan yang bersih (jujur). Konsep martinggil

diperkenalkan dalam teori peluang oleh Paul Pierre Lévy dan

kemudian dikembangkan secara serius oleh Joseph Leo Doob

(Weisstein, 2005; Wikipedia, 2005).

Proses martinggil merupakan proses stokastik {Xn, n ≥ 1}

yang memenuhi identitas

E (Xn+1|X1, . . . , Xn) = Xn, (3.1)

yakni nilai harap bersyarat untuk pengamatan mendatang

jika seluruh pengamatan yang lampau diketahui adalah pe-

ngamatan terakhir saja. Jika dilakukan perampatan terhadap

identitas ini, maka sebuah barisan peubah acak Y1, Y2, Y3, . . .

dikatakan merupakan sebuah martinggil yang mematuhi se-

buah barisan peubah acak yang lain X1, X2, X3, . . . apabila

62 Proses Stokastik

memenuhi identitas

E (Yn+1|X1, X2, . . . , Xn) = Yn, ∀ n. (3.2)

Sebagaimana telah diterangkan di muka, konsep marting-

gil berasal dari meja judi. Dengan demikian, jika peubah

Xn ditafsirkan sebagai keberuntungan penjudi setelah per-

mainan ke−n maka identitas martinggil menyatakan bahwa

harapan keberuntungan setelah permainan ke−(n+ 1) ada-

lah sama dengan keberuntungan ke−n, tidak gayut dengan

keberuntungan-keberuntungan sebelumnya. Atau, andaikan

Xn merupakan keberuntungan penjudi setelah pelemparan

ke−n dari sebuah koin yang ’adil’ —maksudnya jika koin itu

dilempar, kedua belah sisi koin punya peluang yang seimbang

untuk tampak—, dimana penjudi menang Rp 1 juta jika koin

tampak muka dan kalah Rp 1 juta jika koin tampak bela-

kang. Harapan keberuntungan bersyarat bagi penjudi untuk

pelemparan mendatang adalah sama dengan keberuntungan-

nya sekarang. Peristiwa yang demikian merupakan contoh

sebuah martinggil. Peristiwa ini juga disebut sebagai sistem

D’Alembert.

Konsep martinggil di atas sejalan dengan konsep perma-

inan yang adil atau fair game. Dalam sebuah permainan,

nilai adil ditentukan oleh apakah harapan keberuntungan

setelah permainan ke−n terpengaruh oleh keberuntungan

permainan-permainan sebelumnya. Permainan akan disebut

adil jika keberuntungan seluruh permainan sebelumnya tidak

mempunyai pengaruh sama sekali terhadap harapan keberun-

tungan saat ini. Andaikan keberuntungan itu dilambangkan

sebagai peubah acak X, maka sebuah barisan peubah acak

3.1 Proses Martinggil 63

{Xn, n ≥ 1} disebut adil jika

E(X1) = 0

dan

E(Xn+1|X1, . . . , Xn) = 0. (3.3)

Serupa dengan permainan adil ini, jika diandaikan sebuah

barisan peubah acak X1, X2, . . . merupakan peubah acak yang

saling bebas dengan nilai harap 0, dan Sn =

∑n

i=1Xi, maka

peristiwa {Sn, n ≥ 1} merupakan sebuah martinggil sebab

E (Sn+1|S1, S2, . . . , Sn) = E (Sn +Xn+1|S1, . . . , Sn)

= E (Sn|S1, . . . , Sn)

+E (Xn+1|S1, . . . , Sn)

= Sn + E (Xn+1)

= Sn. (3.4)

Submartinggil dan supermartinggil

Sebuah submartinggil adalah juga seperti martinggil, ha-

nya saja nilai sekarang dari peubah acak adalah selalu ’lebih

kecil atau sama dengan’ nilai mendatang yang diharapkan.

Secara baku, ini berarti

Xn ≤ E (Xn+1|X1, . . . , Xn) . (3.5)

Mirip dengan submartinggil, dalam sebuah supermartinggil,

nilai sekarang adalah selalu ’lebih besar atau sama dengan’ ni-

lai mendatang yang diharapkan. Pernyataan ini dapat ditulis

64 Proses Stokastik

sebagai

Xn ≥ E (Xn+1|X1, . . . , Xn) . (3.6)

Oleh karena itu, setiap martinggil adalah juga submarting-

gil atau supermartinggil. Jika pengertian ini dibalik, maka

setiap proses stokastik yang memenuhi keduanya secara serem-

pak (submartinggil dan juga supermartinggil) adalah sebuah

martinggil. Dengan memakai  contoh permainan di atas

lagi —dimana penjudi akan menang Rp 1 juta jika koin tam-

pak muka dan kalah Rp 1 juta jika koin tampak belakang—,

jika sekarang diandaikan koin yang digunakan tidak seimbang

(tidak adil) dan peluang koin tampak muka adalah p maka

• jika p = 1

2

, secara seimbang penjudi bisa kalah atau

menang dan harapan keberuntungan penjudi terhadap

waktu adalah sebuah martinggil.

• jika p < 1

2

, kemungkinan besar penjudi akan menangguk

kekalahan sehingga harapan keberuntungannya meru-

pakan supermartinggil.

• jika p > 1

2

, kemungkinan besar penjudi akan menuai ke-

menangan sehingga harapan keuntungannya merupakan

sebuah submartinggil.

3.2 Proses Markov

Proses Markov merupakan suatu proses stokastik yang menya-

takan bahwa peluang keadaan dari proses pada waktu menda-

tang tidak dipengaruhi oleh keadaan pada waktu-waktu yang

lampau, tetapi hanya kejadian yang langsung mendahuluinya

saja. Atau dengan kata lain, proses Markov merupakan proses

3.2 Proses Markov 65

dimana masa depan tidak tergantung pada sejarah masa lalu

tetapi hanya tergantung pada keadaan sekarang.

Dengan demikian, proses {Xt, t ≥ 0} merupakan suatu

proses Markov jika untuk semua n dan untuk setiap t1 < t2 <

· · · < tn < tn+1 berlaku kaitan berikut:

P (Xn+1 |Xn, Xn−1, . . . , X1 ) = P (Xn+1 |Xn ) . (3.7)

Karenanya, untuk dapat menghitung nilai peluang peristiwa

(Xn+1, tn+), harus diketahui terlebih dahulu keadaan sistem

yang sekarang yakni (Xn, tn). Dalam pengertian seperti ini,

proses Markov juga bisa dikatakan sebagai proses yang tidak

mempunyai ingatan atau rekaman (memoryless). Pada aras

ini, secara jelas proses Markov menegaskan bahwa sejarah

tidak mempunyai pengaruh terhadap kelakuan masa depan.

Pada persamaan (3.7) di atas, andaikan {Xn, n ≥ 0} mem-

punyai ruang keadaan yang berupa himpunan berhingga atau

tercacah, maka proses Markov di atas disebut sebagai rantai

Markov. Contoh sederhana untuk rantai Markov ini adalah

barisan bilangan bulat. Barisan peubah-peubah acak yang

bernilai bilangan bulat yang saling bebas dan mempunyai

distribusi peluang yang sama juga merupakan sebuah rantai

Markov. Andaikan peubah-peubah acak itu adalah Xi dengan

i ≥ 1 adalah suatu barisan peubah acak bernilai bilangan

bulat tak negatif yang saling bebas dan berdistribusi sama,

maka suatu proses stokastik {Sn =

∑n

i=1Xi} adalah juga ran-

tai Markov. Nama lain untuk proses stokastik ini adalah

jalan acak (random walk ). Untuk kasus ini dapat ditunjukkan

66 Proses Stokastik

bahwa

P (Sn+1|S1, . . . , Sn) = P

(

n+1∑

i=1

Xi

∣∣∣∣∣X1, . . . ,

n−1∑

i=1

Xi,

n∑

i=1

Xi

)

= P

(

n+1∑

i=1

Xi = Sn+1

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

Xi = Sn

)

(3.8)

Masalah jalan acak di atas dapat diragamkan (variasi)

menjadi sebuah kasus dimana zarah dapat berjalan ke kanan

atau ke kiri dengan peluang yang sama. Andaikan waktu

antar perpindahan dan panjang langkah dari proses ini relatif

kecil. Andaikan pula X(t) menyatakan posisi zarah pada

waktu t. Jika waktu antar perpindahan dilambangkan dengan

∆t dengan panjang langkah ∆x, maka

X(t) = ∆x (X1 + · · ·+X[t/∆t]), (3.9)

dengan

Xi =

{

+1 jika zarah bergerak ke kanan pada langkah ke-i,

−1 jika zarah bergerak ke kiri pada langkah ke-i,

(3.10)

dan {Xi} saling bebas dengan

P(Xi = 1) = P(Xi = −1) = 1

2

. (3.11)

3.2 Proses Markov 67

Karena E(Xi) = 0 dan Var(Xi) = 1, maka

E (X(t)) = 0, (3.12)

Var(X(t)) = (∆x)2

[

t

∆t

]

. (3.13)

Sekarang akan diandaikan ∆x dan ∆t menuju 0. Andaikan

dipilih ∆x = ∆t dan kemudian ∆t→ 0 maka dari persamaan

di atas dapat dilihat bahwa nilai harap dan variansinya akan

menuju 0 dan sehingga X(t) akan sama dengan 0. Andaikan

∆x = c

√

∆t untuk suatu tetapan positif c maka dari persa-

maan di atas pula dapat dilihiat ketika ∆t→ 0, nilai harap

dan variansinya menjadi

E[X(t)] = 0, (3.14)

Var[X(t)]→ c2t. (3.15)

Dengan demikian didapat bahwa ∆x = c

√

∆t adalah ∆x

yang sesuai. Proses jalan acak ini juga dinamakan proses

gerak Brown (Brownian motion), sehingga sifat Markov dapat

ditemukan pula pada gerak Brown.

Asas Dualitas

Sifat Martinggil

4 — Jalan Acak

Peristiwa jalan acak (random walk) dapat dibayangkan la-

iknya orang yang sedang berjalan pada arah yang sebarang

dengan syarat panjang setiap langkah adalah sama. Orang

yang berjalan dengan cara seperti ini amat sulit untuk ditebak

ke mana arahnya, mirip dengan kekhasan orang mabuk yang

sedang berjalan. Karena itu, acapkali jalan acak juga disebut

sebagai jalannya seorang pemabuk (a drunkard’s walk) (Ste-

wart, 2001). Sebutan ini mengacu pada judul fiksi sains karya

Frederick Pohl di tahun 1960 (Wikipedia, 2005). Gambar 4.1

yang dibuat oleh George Gamow merupakan metafora dari

sebutan drunkard’s walk untuk jalan acak ini.

Menurut Baschnagel dan Paul (1999) dan Dimson dan

Mussavian (2000), konsep jalan acak diperkenalkan sebagai

sebuah ilmu oleh Karl Pearson dalam suratnya kepada Na-

70 Jalan Acak

Gambar 4.1: [Metafora]. Sebuah jalan acak (jalannya pema-

buk). Sumber gambar: http://www.sos.siena.edu

ture tahun 1905. Dalam matematika dan fisika, jalan acak

merupakan perumusan gagasan tentang langkah berturutan

dengan arah yang acak pada setiap langkahnya. Jalan acak

paling sederhana merupakan sebuah lintasan yang dibangun

dengan aturan-aturan: ada titik awal (keberangkatan), jarak

dari satu titik ke titik berikutnya adalah tetap dan setiap

arah yang terpilih merupakan arah acak.

Berdasarkan hal di atas, andaikan Xi, i ≥ 1 merupakan

saling bebas dan berdistribusi sama dengan

P(Xi = j) = aj, j = 0,±1, · · · ,

71

sehingga jika diambil

S0 = 0 dan Sn =

n∑

i=1

Xi,

maka {Sn, n ≥ 0} disebut sebuah jalan acak. Jika tempat dari

Xi adalah dalam Rm, maka {Sn, n ≥ 0} dikatakan sebagai

jalan acak dalam ruang Rm.

Dalam tinjauan ini, barisan Xi adalah hasil keluaran dari

percobaan yang saling bebas. Karena Xi adalah saling bebas,

peluang setiap sejumlah barisan tertentu dari hasil keluaran

dapat dihitung dengan mengalikan peluang setiap Xi. Peluang

masing-masing Xi ini diberikan oleh distribusinya.

Ada beberapa cara untuk membayangkan sebuah jalan

acak. Proses ini bisa dibayangkan melalui sebuah zarah yang

ditempatkan pada titik asal dalam Rm pada waktu n = 0.

Jumlahan Sn melambangkan posisi zarah pada akhir n detik.

Sehingga, dalam rentang waktu [n − 1, n], zarah bergerak

(atau melompat) dari posisi Sn−1 ke Sn. Vektor yang melam-

bangkan gerakan ini adalah Sn−Sn−1, yang juga sama dengan

Xn. Hal ini mengisyaratkan bahwa dalam sebuah jalan acak,

lompatan-lompatan adalah saling bebas dan berdistribusi sa-

ma. Jika m = 1, maka orang bisa membayangkan sebuah

zarah pada garis riil berangkat dari titik asal, dan berakhir

pada detik kapanpun, melompat satu satuan ke kanan atau

kekiri, dengan peluang yang diberikan oleh distribusi Xi. Jika

m = 2, seseorang dapat membayangkan sebuah proses yang

terjadi di kota dengan bentuk-bentuk jalan yang persegi. Sese-

orang berangkat dari suatu sudut (yakni pada perpotongan 2

jalan) dan pergi mengambil 1 arah dari 4 kemungkinan sesuai

72 Jalan Acak

Gambar 4.2: (a) Jalan acak dengan m = 1. Pada jalan acak

ini hanya ada 2 kemungkinan arah yaitu ke kanan atau ke

kiri. (b) Jalan acak dengan m = 2, dengan 4 kemungkinan

arah yaitu: ke selatan, utara, barat dan timur. (c) Jalan acak

dengan m = 3, dengn 6 kemungkinan arah yaitu: ke selatan,

utara, barat, timur, ke atas dan ke bawah

dengan distribusi Xi. Jika m = 3, seseorang bisa memba-

yangkan berada di gedung olahraga, dimana seseorang bebas

untuk bergerak dengan mengambil 1 arah dari 6 kemungkinan

arah. Sekali lagi, peluang gerakan ini diberikan oleh distribusi

dari Xi. Gagasan-gagasan ini bisa dilihat dalam gambar 4.2.

Model yang lain untuk menggambarkan jalan acak adalah

percobaan pelantunan koin seperti yang disinggung dalam

bab 2 (§2.3), dimana Xi = 1 untuk hasil keluaran ’muka’ dan

73

Xi = −1 untuk hasil keluaran ’belakang’, juga merupakan

sebuah jalan acak. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa untuk

p, 0 < p < 1,

P(Xi = 1) = p, (4.1)

P(Xi = −1) = q = 1− p (4.2)

dan

Sn =

n∑

i=1

Xi. (4.3)

Dalam jalan acak ini, proses selalu naik (berjalan ke kanan)

satu langkah (dengan peluang p) atau turun (berjalan ke kiri)

satu langkah (dengan peluang q).

Gambar 4.3: Sebuah lintasan jalan acak yang merekam perja-

lanan sampai 40 langkah dengan pelemparan koin. Jika koin

tampak ’muka’ maka naik 1 langkah dan jika koin tampak

’belakang’ maka turun 1 langkah

74 Jalan Acak

4.1 Asas Dualitas

Peubah (X1, X2, . . . , Xn)mempunyai distribusi gabungan yang

sama dengan (Xn, Xn−1, . . . , X1). Ini disebut dengan asas du-

alitas (duality principle, prinsip dualitas). Asas ini dengan

mudah terbukti karena Xi, i > 1, merupakan saling bebas dan

terdistribusi sama.

Andaikan X1, X2, . . . merupakan peubah acak yang saling

bebas dan terdistribusi/teragih sama dengan E(Xi) > 0. Jika

N = min (n : X1 + · · ·+Xn > 0) , maka

E(N) =

∞∑

n=0

P(N > n)

=

∞∑

n=0

P(X1 ≤ 0, X1 +X2 ≤ 0, . . . , X1 + · · ·+Xn ≤ 0)

=

∞∑

n=0

P(Xn ≤ 0, Xn +Xn−1 ≤ 0, . . . , Xn + · · ·+X1 ≤ 0),

dimana persamaan terakhir muncul dari dualitas. Karena itu

E(N) =

∞∑

n=0

P(Sn ≤ Sn−1, Sn ≤ Sn−2, . . . , Sn ≤ 0) (4.4)

sehingga

E(N) <∞.

Persamaan terakhir ini menandakan bahwa jika E(X) > 0

maka jalan acak akan mempunyai harapan jumlah langkah

yang berhingga.

Sekarang andaikan Rn sebagai jangkauan dari (S0, S1, . . . , Sn)

4.1 Asas Dualitas 75

dan merupakan jumlahan nilai-nilai dari (S0, S1, . . . , Sn). De-

ngan mengambil

Ik =

{

1 jika Sk 6= Sk−1, Sk 6= Sk−2, . . . , Sk 6= S0,

0 untuk Sk yang lain.

maka

Rn = 1 +

n∑

k=1

Ik,

dan sehingga

E(Rn) = 1 +

n∑

k=1

P(Ik = 1)

= 1 +

n∑

k=1

P(Sk 6= Sk−1, Sk 6= Sk−2, . . . , Sk 6= 0)

= 1 +

n∑

k=1

P(Xk 6= 0, Xk +Xk−1 6= 0, . . . ,

Xk +Xk+1 + · · ·+X1 6= 0)

= 1 +

n∑

k=1

P(X1 6= 0, X1 +X2 6= 0, . . . ,

X1 + · · ·+Xk 6= 0), (4.5)

dimana persamaan terakhir muncul dari dualitas. Oleh sebab

76 Jalan Acak

itu

E(Rn) = 1 +

n∑

k=1

P(S1 6= 0, S2 6= 0, . . . , Sk 6= 0) (4.6)

=

n∑

k=0

P(T > k), (4.7)

dimana T adalah waktu untuk kembali pertama ke 0. Seka-

rang, ketika k →∞,

P(T > k)→ P(T =∞) = P(tidak kembali ke 0),

dan sehingga dari persamaan (4.6) dapat dilihat bahwa

E(Rn)

n

→ P(tidak kembali ke 0).

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

lim

n→∞

E(Rn)

n

= P(jalan acak tidak pernah kembali ke 0)

(4.8)

Dalam jalan acak dengan P(Xi = 1) = p = 1 − P(Xi =

−1), andaikan sekarang p = 1

2

—disebut juga jalan acak

setangkup (simetri)—, maka jalan acak merupakan recurrent

sehingga

P(tidak kembali ke 0) = 0 ketika p = 1

2

.

4.1 Asas Dualitas 77

Oleh karena itu,

E(

Rn

n

)→ 0 ketika p = 1

2

.

Ketika p = 1

2

, andaikan α = P(kembali ke 0|X1 = 1). Karena

P(kembali ke 0|X1 = −1) = 1 sehingga

P(kembali ke 0) = αp+ 1− p.

Dengan membuat keadaan pada X2,

α = α2p+ 1− p,

atau sama saja dengan

(α− 1)(αp− 1 + p) = 0.

Karena α < 1 dari transiensi, maka terlihat bahwa

α =

(1− p)

p

,

sehingga

E(

Rn

n

)→ 2p− 1 ketika p = 1

2

.

Dapat juga diubah menjadi,

E(

Rn

n

)→ 2(1− p)− 1 ketika p ≤ 1

2

. (4.9)

Sekarang akan diselidiki jumlah harapan kunjungan ke

keadaan k. Untuk k > 0 andaikan Y melambangkan jumlah

78 Jalan Acak

kunjungan ke keadaan k sebelum kembali pertama kali ke

titik asal. Dengan demikian Y dapat dinyatakan sebagai

Y =

∞∑

n=1

In,

dengan

In =



1 jika kunjungan ke keadaaan k terjadi pada waktu n

dan tidak kembali ke titik asal sebelum n

0 untuk kunjungan yang lain,

atau Ik dapat juga dinyatakan

In =

{

1 jika Sn > 0, Sn−1 > 0, . . . , S1 > 0, Sn = k

0 sebaliknya,

Sehingga,

E(Y ) =

∞∑

n=1

P(Sn > 0, Sn−1, . . . , S1 > 0, Sn = k)

=

∞∑

n=1

P(Xn + · · ·+X1 > 0, Xn−1 + · · ·+X1 > 0,

. . . , X1 > 0, Xn + · · ·+X1 = k)

4.2 Sifat Martinggil 79

karena asas dualitas maka

E(Y ) =

∞∑

n=l

P(X1 + · · ·+Xn > 0, X2 + · · ·+Xn > 0,

. . . , Xn > 0, X1 + · · ·+Xn = k),

=

∞∑

n=1

P(Sn > 0, Sn > S1, . . . , Sn > Sn−1, Sn = k)

=

∞∑

n=1

P( jalan acak simetri berada di k

untuk pertama kalinya pada saat n)

= P(pernah berada di k)

= 1 (dengan rekurensi) (4.10)

Oleh karena itu, dalam jalan acak simetri jumlah harapan

kunjungan ke keadaan k sebelum kembali ke titik asal adalah

sama dengan 1 untuk semua k 6= 0.

4.2 Sifat Martinggil

Andaikan peubah acak X1, X2, . . . merupakan peubah acak

saling bebas dengan nilai harap 0, maka peristiwa jalan acak

{Sn =

∑n

i=1Xi, n ≥ 1} merupakan sebuah martinggil. Hal

ini dapat dilihat dalam perhitungan berikut:

E(Sn+1|S1, S2, . . . , Sn) = E(Sn +Xn+1|S1, . . . , Sn)

= E(Sn|S1, . . . , Sn)

+E(Xn+1|S1, . . . , Sn)

= Sn + E(Xn+1)

= Sn (4.11)

80 Jalan Acak

Selain sifat martinggil ini, jalan acak juga memiliki sifat

Markov yang sudah dijabarkan dalam bab sebelumnya.

Model Fisika untuk Gerak Brown

Model Matematika untuk Gerak Brown

Lemma Itô

Persamaan Rambatan Panas

5 — Gerak Brown

Gerak Brown adalah gerak acak malar zarah zat padat mi-

kroskopik (dengan garis tengah kira-kira 1 mikrometer) bila

tercelup di dalam medium fluida (Isaacs, 1994, hlm. 43). Na-

ma Brown dinisbatkan kepada Robert Brown (1773-1858). Ia

menyebutkan bahwa penelitiannya tentang gerak acak ini ber-

angkat dari temuan Leuwenhoek (1632–1723) (Nelson, 2001,

hlm. 5). Pada tahun 1827 ketika sedang meneliti zarah tepung

sari, Brown menemukan gejala serupa yaitu zarah-zarah kecil

bergerak secara acak dengan cepat (rapid oscillatory motion).

Pada awalnya, Brown mengira gerak ini merupakan perwujud-

an suatu bentuk kehidupan, namun ternyata zarah-zarah tak

organik yang kecil juga menunjukkan perilaku yang serupa

(Isaacs, 1994, hlm. 43). Sumbangan Brown dalam menerang-

kan gejala rapid oscillatory motion ini adalah memberikan

82 Gerak Brown

pijakan yang kuat bahwa gerakan ini merupakan gejala yang

penting dan membuktikan bahwa gerakan ini tidak hanya

berlaku untuk zarah organik tetapi juga ditemui pada zarah

tak organik (Nelson, 2001, hlm. 8).

Sejak Brown memaklumkan hasil temuannya dalam Phi-

losophical Magazine tahun 1828, gerakan zarah secara acak

itu kemudian lebih dikenal sebagai gerak Brown (mengacu

pada namanya; Robert Brown). Banyak ilmuwan kemudian

berusaha untuk memberikan penjelasan mengenai fenomena

gerak Brown ini. Namun, Halliday dan Resnick (1992, hlm.

811) menyebutkan bahwa tidak ada keterangan kuantitatif

mengenai fenomena ini sampai dikembangkannya teori kine-

tik. Karenanya, Nelson (2001, hlm. 10–1) menyatakan bahwa

penelitian tentang gerak Brown yang patut dicatat pada ma-

sa itu adalah eksperimen Gouy. Kesimpulan dari penelitian

Gouy dituangkan dalam 7 butir utama berikut :

1. Gerakan ini sangat tidak teratur, gabungan dari transla-

si dan rotasi dan lintasannya nampak tidak mempunyai

garis singgung.

2. Dua zarah nampak bergerak secara saling bebas, bahkan

ketika mereka mendekati satu sama lain dalam jarak

yang lebih dekat dibanding diameter mereka.

3. Gerakan ini semakin cepat untuk zarah yang semakin

kecil.

4. Gerakan ini tidak dipengaruhi oleh komposisi dan ra-

patan zarah.

5. Gerakan ini semakin cepat dalam fluida yang viskositas-

nya semakin kecil.

6. Gerakan ini semakin cepat pada suhu yang semakin

tinggi.

5.1 Model Fisika untuk Gerak Brown 83

7. Gerakan ini tidak pernah berhenti.

Pada masa itu secara bersamaan terjadi perdebatan yang

sengit tentang teori atom, apakah atom sebagai kenyataan

ilmiah atau tidak. Sebagaimana tradisi dalam ilmu fisika,

hakim dari setiap perdebatan adalah eksperimen. Halliday

dan Resnick (1992, hlm. 810-11) menyatakan bahwa melalui

telaah mengenai gerak Brown secara kuantitatif, kebenaran

teori kinetik atom pada akhirnya teruji sehingga perdebatan

itu menjadi padam. Titik pancang padamnya perdebatan

ini adalah bermula dari karya Albert Einstein tentang gerak

Brown dalam Annalen der Physik tahun 1905.

5.1 Model Fisika untuk Gerak Brown

Einstein mengandaikan bahwa zarah-zarah yang tergantung

dalam suatu fluida secara bersama-sama menanggung gerak

termal dari medium dan secara rata-rata tenaga kinetik trans-

lasi dari setiap zarah adalah 3/2 kT , sesuai dengan prinsip

ekipartisi tenaga. Dalam pandangan ini, maka gerak Brown

berasal dari tumbukan molekul-molekul fluida, dan zarah-

zarah yang tergantung mendapatkan tenaga kinetik rata-rata

yang sama seperti molekul-molekul fluida ini .

Zarah-zarah yang tergantung ini  adalah sangat be-

sar dibandingkan dengan molekul-molekul fluida dan semua

sisinya ditembaki secara terus-menerus oleh molekul-molekul

ini . Jika zarah-zarah cukup besar dan jumlah mole-

kul cukup banyak, maka jumlah molekul yang sama akan

menumbuk semua sisi zarah-zarah pada setiap saat. Untuk

zarah-zarah yang lebih kecil dan jumlah molekul yang lebih

sedikit maka jumlah molekul yang menumbuk berbagai sisi

84 Gerak Brown

Gambar 5.1: Zarah Brown yang tergantung dalam fluida

’menderita’ gaya sebarang K

zarah pada setiap saat semata-mata hanyalah merupakan ke-

mungkinan. Besar jumlah ini mungkin tidak sama, sehingga

akan terjadi fluktuasi. Akibatnya, setiap saat zarah menga-

lami gaya tak seimbang yang pada gilirannya menyebabkan

zarah ini  bergerak dengan berbagai cara. Dengan de-

mikian zarah-zarah bertindak persis seperti molekul-molekul

yang sangat besar di dalam fluida, dan geraknya secara ku-

alitatif haruslah sama seperti gerak molekul-molekul fluida.

Kaitannya dengan bilangan Avogadro, seandainya bilangan

Avogadro adalah tak berhingga maka tidak akan ada fluktua-

si sehingga tidak ada gerak Brown. Sebailknya, seandainya

bilangan Avogadro adalah sangat kecil, maka gerak Brown

akan sangat besar. Oleh karena itu, bilangan Avogadro bisa

ditentukan dengan gerak Brown ini.

Secara garis besar, argumen Einstein dalam menurunkan

5.1 Model Fisika untuk Gerak Brown 85

gerak Brown ini dapat dibagi menjadi 2 bagian. Dalam argu-

men bagian pertamanya, Einstein mengandaikan bahwa gerak

Brown yang dimulai pada saat X(0) = 0 akan mempunyai

rapat peluang pada waktu t yaitu N(0, t). Rapat peluang

sebuah zarah Brown berada pada x dan waktu t bernilai

ρ(x, t) =

1√

4 πD t

e−

x2

4D t . (5.1)

Maka, untuk menyelesaikan persamaan ini , Einstein

menurunkannya ke dalam persamaan difusi

∂ρ

∂t

= D

∂2ρ

∂x2

(5.2)

dengan D adalah tetapan positif koefisien difusi.

Argumen bagian kedua menghubungkan D dengan besar-

an fisis yang lain. Untuk itu, andaikan zarah-zarah Brown

tergantung (tercelup) dalam fluida, berada dalam pengaruh

gaya eksternal K dan dalam sistem kesetimbangan. Dalam

tinjauan ini gaya K dianggap sebagai gaya sebarang.

Dalam kesetimbangan, gaya K diimbangi oleh tekanan

osmotik,

K = kT

grad υ

υ

= kT

∇υ

υ

. (5.3)

Di sini grad merupakan singkatan dari gradien yang melam-

bangkan laju variasi terhadap koordinat dan ∇ adalah lam-

bang singkat dari grad atau disebut juga operator turunan

nabla Laplace. Lambang υ merupakan jumlah zarah per sa-

tuan volume, T adalah suhu mutlak, dan k adalah tetapan

Boltzman yang mempunyai dimensi energi per suhu sehing-

86 Gerak Brown

ga besaran kT mempunyai dimensi energi (k = 1, 381.10−23

J/K). Pengetahuan tentang k sebenarnya adalah pengetahuan

tentang bilangan Avogadro sebab k adalah perbandingan an-

tara tetapan gas universal R (= 8, 31 J/mol K) dan bilangan

Avogadro itu sendiri, dan oleh karenanya, ini akan mengarah

pada ukuran molekul. Ruas kanan persamaan (5.3) diturunk-

an dengan menganggap zarah-zarah Brown identik dengan

molekul gas dalam teori kinetik.

Zarah-zarah Brown yang bergerak dalam fluida menye-

babkan timbulnya gesekan sehingga gaya K memberi kecepat-

an pada setiap zarah sebesar

K

mβ

dengan β merupakan tetapan berdimensi frekuensi (satuan:

per waktu) dan m adalah massa zarah. Oleh karena itu,

sebanyak υK

mβ

zarah melewati satuan luas per satuan waktu

sesuai dengan aksi gaya K. Dengan kata lain, jika hanya

difusi yang bekerja saja, υ akan memenuhi persamaan difusi

sehingga jumlah zarah yang melewati satuan luas per waktu

adalah

D ∇υ.

Dengan demikian, didapatkan

υK

mβ

= D∇υ. (5.4)

Dengan memakai  persamaan (5.3) dan (5.4), maka K

5.1 Model Fisika untuk Gerak Brown 87

dan υ dapat dilenyapkan dan didapat

D =

kT

mβ

. (5.5)

Kaitan di atas biasa dikenal sebagai kaitan Einstein . Kaitan

ini berlaku bahkan ketika tidak ada gaya dan ketika hanya

ada satu zarah Brown.

Andaikan kedua ruas dalam persamaan (5.3) dibagi dengan

mβ dan dengan memakai  persamaan (5.4), maka akan

didapat persamaan baru

K

mβ

= D

∇υ

υ

.

Karena rapat peluang ρ hanyalah rapatan jumlah υ dibagi

dengan jumlah zarah, maka persamaan di atas dapat ditulis

ulang sebagai

K

mβ

= D

∇ρ

ρ

.

Ruas kiri persamaan di atas merupakan kecepatan yang dipe-

roleh zarah karena aksi gaya K, maka

D

∇υ

υ

(5.6)

merupakan kecepatan yang dibutuhkan oleh zarah untuk me-

lawan efek gaya K.

Jika zarah Brown adalah bola dengan jejari a, maka teori

gesekan Stokes memberikan mβ = 6πηa, dengan η adalah

koefisien viskositas fluida, sehingga dalam kejadian ini tetapan

88 Gerak Brown

difusi menjadi

D =

kT

6πηa

. (5.7)

Suhu T dan koefisien viskositas η dapat diukur dan jejari

zarah berbentuk bola dapat ditentukan, dan D dapat dica-

ri dengan pengamatan statistik gerak Brown memakai 

persamaan (5.1). Dengan cara ini, tetapan Boltzman k (atau

setara dengan bilangan Avogadro) dapat dihitung. Perhi-

tungan ini dikerjakan oleh Perrin dan Chaudesaigues. Yang

lebih menakjubkan, hasil perhitungan bilangan Avogadro

yang didapat, yakni 6.1023 zarah/mol, hampir mendekati de-

ngan nilai bilangan Avogadro yang sekarang (NA = 6, 02.1023

/mol).

Perhitungan Einstein di atas hanya menentukan sifat ala-

miah gerakan dan nilai koefisien difusi yang berdasarkan pada

andaian-andaian yang disusunnya. Secara terpisah, Smolucho-

wski mendapatkan persamaan (5.5) dengan faktor 32/27 pada

ruas kanannya. Langevin memberikan penurunan yang lain

terhadap persamaan (5.5) yang kemudian menjadi pijakan

bagi karya Ornstein dan Uhlenbeck.

Karya Einstein ini sangat berpengaruh dalam fisika karena

telah membuktikan dengan cara yang mudah dan konkret

bahwa atom benar-benar ada. Namun demikian, Einstein

tidak bisa memberikan bukti bahwa gerak Brown wujud (eksis)

secara matematika (Ma, 1997, hlm. 49).

5.2 Model Matematika untuk Gerak Brown 89

5.2 Model Matematika untuk Gerak Brown

Dalam beberapa pustaka, ada aneka lambang untuk menye-

but gerak Brown. Lambang B(t) diambil dari abjad pertama

Brownian motion sekaligus untuk mengenang Robert Brown.

Lambang W (t) digunakan sebagai penghormatan terhadap

Norbert Wiener yang telah membuktikan eksistensi gerak

Brown secara matematis dalam disertasi doktornya tahun

1923, karena itu pula proses gerak Brown juga sering disebut

dengan istilah proses Wiener. Sementara beberapa pustaka

yang lain —misalnya Ross (1982)— memakai  lambang

yang berbeda yakni Z(t) dan z(t). Dalam artikel  ini, secara

umum notasi B(t) dipilih untuk melambangkan proses ge-

rak Brown ini, meskipun di beberapa bagian memakai 

beberapa lambang yang berbeda.

Sebagaimana sudah disinggung ketika membahas proses

Markov, gerak Brown merupakan pengembangan lebih lanjut

dari jalan acak. Dari pembahasan itu dan mengingat kembali

dalil limit pusat, maka peubah acak X(t) merupakan peubah

acak normal dengan nilai harap 0 dan variansi c2t, kenaikannya

merupakan kenaikan yang saling bebas, dan ketika perubahan

nilai posisi jalan acak terhadap setiap selang waktu hanya

bergantung pada selang itu sendiri maka kenaikannya adalah

stasioner. Beberapa kesimpulan ini dapat diringkas sebagai

takrif dari gerak Brown.

Secara lebih lengkap, sebuah proses stokastik {B(t), t ≥ 0}

disebut proses gerak Brown jika memenuhi keadaan-keadaan

berikut:

1. B(0) = 0,

2. proses {B(t), t ≥ 0} mempunyai kenaikan saling bebas

90 Gerak Brown

yang stasioner, yakni untuk 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn kena-

ikan dari B(tn)−B(tn−1), B(tn−1)−B(tn−2), . . . , B(t2)−

B(t1) merupakan peubah acak yang saling bebas,

3. untuk seluruh t ≥ 0 dan h > 0, kenaikan B(t+h)−B(t)

terdistribusi secara normal dengan nilai harap µ h dan

variansi σ2 h,

4. fungsi yang memetakan t 7→ B(t) merupakan fungsi

kontinu.

Untuk nilai-nilai µ = 0 dan σ = 1, proses sering disebut

sebagai gerak Brown standard (standard Brownian motion).

Pandangan bahwa gerak Brown merupakan limit jalan acak

menyajikan informasi bahwa B(t) merupakan fungsi malar

dari t namun berupa titik-titik sehingga tidak mulus dan

karenanya fungsi ini tidak dapat diturunkan dimanapun juga.

Andaian kenaikan yang saling bebas menyebabkan bahwa

perubahan posisi antara waktu s dan t+ s —yakni B(t+ s)−

B(s)— merupakan saling bebas untuk seluruh nilai dalam

proses sebelum waktu s. Karenanya, persamaan

P (B(t+ s) ≤ a | B(s) = x, B(u), 0 ≤ u < s)

= P (B(t+ s)− B(s) ≤ a− x|B(s) = x,

B(u), 0 ≤ u < s)

= P (B(t+ s)− B(s) ≤ a− x)

= P (B(t+ s) ≤ a|B(s) = x)

(5.8)

yang menyatakan bahwa peluang bersyarat untuk keadaan

mendatang B(t + s) hanya bergantung pada B(s) sebagai

keadaan sekarang. Sifat ini selaras dengan sifat proses Markov.

Gerak Brown yang dibahas di muka merupakan gerak

Brown tanpa laju pertumbuhan (drift), nilai harap sama

5.2 Model Matematika untuk Gerak Brown 91

dengan 0. Sebuah gerak Brown {X(t), t ≥ 0} merupakan

gerak Brown dengan laju pertumbuhan yang mempunyai

koefisien laju pertumbuhan senilai µ jika memenuhi syarat-

syarat:

1. X(0) = 0,

2. {X(t), t ≥ 0} mempunyai kenaikan yang saling bebas

dan stasioner,

3. X(t) terdistribusi secara normal dengan nilai harap µ t

dan variansi t.

Dengan merujuk pada syarat-syarat di atas, jika X(t) me-

rupakan gerak Brown dengan laju pertumbuhan, maka X(t)

akan memenuhi persamaan

X(t) = B(t)+µ t, B(t)merupakan gerak Brown standard.

(5.9)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa sebuah gerak Bro-

wn dengan laju pertumbuhan merupakan sebuah proses yang

cenderung untuk berolak (drift off) pada tingkat µ. Gerak

Brown ini juga dapat didekati dengan jalan acak. Untuk

memahami ini, andaikan bahwa untuk setiap ∆t satuan wak-

tu proses bergerak ke positif atau negatif dengan panjang

langkah ∆x dengan peluang p dan 1 − p. Jika diandaikan

bahwa

Xi =

{

+1 jika pada langkah ke-i positif

−1 untuk i yang lain

92 Gerak Brown

maka X(t) yakni posisi pada waktu t adalah

X(t) = ∆x(X1 + · · ·+Xt/∆t).

Pada proses ini nilai harap dan variansinya adalah

E[X(t)] = ∆x [t/∆t] (2p− 1)

Var[X(t)] = (∆x)2[t/∆t][1− (2p− 1)2].

Andaikan kemudian diambil nilai ∆x =

√

∆y, p = 1

2

(1+µ

√

t),

dan ∆t→ 0 maka

E[X(t)]→ µt,

Var[X(t)]→ t,

sehingga nampak jelas bahwa {X(t)} merupakan gerak Brown

dengan koefisien laju pertumbuhan µ.

Berdasarkan pembahasan dalam gerak Brown standard

dan gerak Brown dengan laju pertumbuhan, jika gerak Brown

{X(t), t ≥ 0} memiliki nilai harap µ dan variansi σ2 maka

persamaan gerak Brown secara umum akan menjadi

X(t) = σB(t) + µt. (5.10)

Dalam bentuk persamaan turunan, persamaan di atas dapat

ditulis sebagai

dX(t) = σdB(t) + µdt. (5.11)

Sejauh ini, gerak Brown yang disinggung hanya merupak-

an peubah-peubah acak yang mengikuti gerak Brown ini .

5.3 Lemma Itô 93

Apabila logaritma dari suatu peubah acak mengikuti gerak

Brown, maka proses ini juga merupakan gerak Brown. An-

daikan {X(t), t ≥ 0} merupakan gerak Brown dengan laju

pertumbuhan µ dan variansi σ2, maka proses {Y (t), t ≥ 0}

yang memenuhi takrif

Y (t) = eX(t) = eσB(t)+µt (5.12)

juga merupakan gerak Brown. Nama khusus untuk gerak

Brown jenis ini adalah gerak Brown geometrik (geometric

Brownian motion) —acapkali disebut gerak Brown eksponen-

sial.

5.3 Lemma Itô

Salah satu perampatan gerak Brown yang sangat masyhur

adalah proses Itô. Jika X(t) mengikuti proses Itô, maka

dX(t) = a(X, t) dt+ b(X, t)B(t) (5.13)

dengan parameter a dan b merupakan fungsi dari nilai-nilai

peubah acuan X dan t, sedangkan dB(t) merupakan gerak

Brown. Lemma Itô menunjukkan bahwa sebuah fungsi Y dari

X dan t mengikuti proses

dY =

(

∂Y

∂X

a+

∂Y

∂t

+

1

2

∂2Y

∂X2

b2

)

dt+

∂Y

∂X

b dB(t). (5.14)

94 Gerak Brown

Oleh karena itu, Y juga mengikuti proses Itô dengan laju

pertumbuhan

∂Y

∂X

a+

∂Y

∂t

+

1

2

∂2Y

∂X2

b2 (5.15)

dan variansi(

∂Y

∂X

)2

b2. (5.16)

Bukti

Dengan deret Taylor dari ∆Y yang merupakan fungsi dari

X dan t, maka di dapat

∆Y =

∂Y

∂X

∆X +

∂Y

∂t

∆t

+

1

2

(

∂2Y

∂X2

∆X2 + 2

∂2Y

∂X∂t

∆X∆t+

∂2Y

∂t2

∆t2

)

+

1

3!

(

∆X

∂

∂X

+∆t

∂

∂t

)3

Y + · · · . (5.17)

Bentuk tercacah dari proses Itô (persamaan (5.13)) adalah

∆X = a(X, t)∆t+ b(X, t)

√

∆t. (5.18)

Dengan limit ∆t→ 0, maka ∆X2 ≈ b2(X, t)√∆t. Penyisipan

5.4 Persamaan Rambatan Panas 95

persamaan ini ke dalam persamaan (5.17) akan menghasilkan

dY =

∂Y

∂X

dX +

∂Y

∂t

dt+

1

2

∂2Y

∂x2

b2(X, t)dt

=

(

∂Y

∂X

a+

∂Y

∂t

+

1

2

∂2Y

∂X2

b2

)

dt+

∂Y

∂X

b dB(t).

(5.19)

Penerapan untuk gerak Brown geometrik

Jika diandaikan bahwa S = eZ dengan Z merupakan gerak

Brown menurut persamaan

dZ = µdt+ σdB (5.20)

maka dengan memakai  lemma Itô dan

∂S

∂Z

= eZ = S,

∂S

∂t

= 0,

∂2S

∂Z2

= eZ = S

akan didapat persamaan

dS = S

(

µ+

σ2

2

)

dt+ SσdB

dS

S

=

(

µ+

σ2

2

)

dt+ σdB (5.21)

5.4 Persamaan Rambatan Panas

Persamaan rambatan panas (heat equation) mempunyai kaitan

yang erat dengan gerak Brown. Dengan mengetahui bahwa

B(t) mempunyai N(0, t) untuk agihan t > 0 jika B(t) adalah

96 Gerak Brown

gerak Brown, maka rapat peluang ρ(x, t) dapat ditulis

ρ(x, t) =

1√

2 π t

e−

x2

2t

Dengan menghitung turunan sebagian dari ρ(x, t) yakni

∂ρ

∂t

(x, t) =

1

2

(

x2

t2

− 1

t

)

ρ(x, t),

∂ρ

∂x

(x, t) = −x

t

ρ(x, t),

∂2ρ

∂x2

(x, t) =

(

x2

t2

− 1

t

)

ρ(x, t),

maka dapat ditunjukkan bahwa ρ(x, t) memenuhi persamaan

turunan sebagian yang disebut juga persamaan rambatan

panas berikut

∂ρ

∂t

(x, t) =

1

2

∂2ρ

∂x2

(x, t). (5.22)

Sifat ini dapat dilacak dengan mengandaikan bahwa f men-

cukupi syarat-syarat sebagai sebuah fungsi. Jika u(x, t) =

E[f(B(t) + x)], maka dapat dilihat pada saat t = 0 fung-

si u(x, 0) akan bernilai u(x, 0) = f(x). Untuk t > 0, akan

didapat persamaan

u(x, t) =

∫ +∞

−∞

f(z)ρ(x− z, t)dz. (5.23)

5.4 Persamaan Rambatan Panas 97

Penurunan kedua ruas persamaan di atas terhadap t dan x

secara serentak akan menghasilkan

∂u

∂t

(x, t) =

∫ +∞

−∞

f(z)

∂ρ

∂t

(x− z, t)dz (5.24)

dan

∂2u

∂x2

(x, t) =

∫ +∞

−∞

f(z)

∂2ρ

∂x2

(x− z, t)dz. (5.25)

Dari persamaan di atas terlihat bahwa u juga memenuhi

persamaan rambatan panas.

ρ(x, t) =

1√

2 π t

e−

x2

2t . (5.26)

Saham

Obligasi

Derivatif

6 — Pasar Saham

Pasar merupakan tempat dimana penjual dan pembeli da-

pat bertemu untuk saling bertukar produk masing-masing

atau melakukan transaksi. Sebuah pasar tidak selalu harus

mempunyai tempat dalam arti fisik, misalnya pasar keuangan

(financial market). Menurut takrif Brigham dan Houston

(2001), pasar keuangan adalah tempat terjadinya penawaran

dan permintaan dana serta investasi melalui transaksi bisnis

secara langsung.

Ada dua macam pasar keuangan yang utama, yaitu pasar

uang dan pasar modal. Pasar uang terbentuk karena adanya

penawaran dan permintaan dana jangka pendek (jangka wak-

tu kurang dari 1 tahun) dalam bentuk sekuritas (security)

atau surat berharga1, warkat komersial (commercial paper),

1Istilah-istilah sekuritas, surat berharga atau instrumen keuangan

100 Pasar Saham

dan sertifikat deposito. Sedangkan pasar modal terbentuk

karena adanya penawaran dan permintaan dana jangka pan-

jang (jangka waktu lebih dari 1 tahun), baik dalam bentuk

modal sendiri (stock) maupun hutang (bond), baik yang di-

terbitkan oleh pemerintah (public authorities) maupun oleh

perusahaan swasta (privat sectors). Surat berharga utama

yang diperdagangkan adalah saham (stock, share), obligasi

(bond) dan derivatif (derivative).

Dalam perdagangan surat berharga, dikenal ada 2 jenis

pasar surat berharga, yaitu pasar perdana (primary market)

dan pasar sekunder (secondary market). Seluruh surat berhar-

ga, baik di pasar uang maupun di pasar modal, diterbitkan

pertama kali di pasar perdana. Dalam pasar ini penerbit (per-

usahaan yang go public, disebut juga emiten) langsung terlibat

dalam transaksi dan bermaksud untuk mencari modal baru.

Perdagangan surat berharga pertama kali terjadi di sini sebe-

lum dicatatkan di bursa efek. Pada pasar perdana ini surat

berharga untuk pertama kalinya ditawarkan kepada pemodal

oleh pihak Penjamin Emisi (Underwriter) melalui Perantara

Pedagang Efek (Broker-Dealer) yang bertindak sebagai Agen

Penjual surat berharga. Proses ini biasa disebut dengan Pe-

nawaran Umum Perdana (Initial Public Offering/IPO). Jadi

pasar perdana adalah tempat penjualan surat-surat berharga

yang baru.

Selanjutnya perdagangan surat berharga yang telah di-

catatkan di bursa efek akan berlangsung di pasar sekunder.

Pasar sekunder memberi kesempatan kepada para pemodal

untuk membeli atau menjual surat berharga yang tercatat di

mempunyai makna yang hampir sama. Selanjutnya dalam artikel  ini

dipilih istilah surat berharga.

101

bursa setelah terlaksananya penawaran perdana. Di pasar se-

kunder ini, surat berharga diperdagangkan dari satu pemodal

kepada pemodal lainnya. Dengan kata lain, pasar sekunder

merupakan tempat perdagangan surat berharga yang telah

beredar.

Organisasi yang menyediakan tempat dimana pasar sekun-

der dapat berlangsung disebut dengan bursa efek. Menurut

UU No 8 tahun 1995, bursa efek (stock exchange) merupakan

pihak yang menyelenggarakan dan menyediakan sistem dan

atau sarana untuk mempertemukan penawaran jual dan beli

efek kepada pihak-pihak lain dengan tujuan memperdagangk-

an efek. Sementara itu, efek merupakan surat berharga yang

berupa pengakuan hutang, surat berharga komersial, saham,

obligasi, tanda bukti utang, unit penyertaan kontrak kolektif,

kontrak berjangka atas efek, dan setiap derivatif dari efek.

Bursa efek terdiri dari bursa yang terorganisir (organized

securities exchange) dan bursa tidak terorganisir atau bur-

sa tidak resmi (over the counter exchange, disingkat OTC).

Bursa terorganisir merupakan organisasi nyata yang bertin-

dak seperti pasar sekunder dimana surat-surat berharga yang

beredar dijual kembali. Yang termasuk dalam contoh bur-

sa terorganisir adalah Jakarta Stock Exchange (JSX), New

York Stock Exchange (NYSE) dan America Stock Exchange

(AMEX). Sedangkan OTC merupakan pasar tidak berwujud

yang membeli dan menjual surat berharga yang tidak terdaf-

tar di bursa yang terorganisir, sehingga di sini berkumpul

para broker dan dealer dalam jumlah besar, yang dihubungkan

dengan komputer dan telepon. NASDAQ di Amerika (Natio-

nal Association of Securities Dealers Automated Quotation

System) dapat dikelompokkan dalam kategori ini.

102 Pasar Saham

Dari uraian di atas terlihat bahwa pasar modal hanyalah

merupakan tempat bertemunya permintaan dan penawaran

surat berharga jangka panjang. Untuk menentukan sebera-

pa baik kualitas pasar modal, Reilly (Yuliati et al., 1996)

menyarankan untuk meninjaunya melalui empat penunjuk,

yaitu ketersediaan informasi, likuiditas (liquidity), efisiensi

internal (internal efficiency) dan efisiensi eksternal (external

efficiency).

Ketersediaan informasi berkaitan erat dengan informa-

si di pasar modal itu sendiri, misalnya informasi mengenai

fluktuasi harga surat berharga di masa lalu atau fluktuasi

volume perdagangannya. Dalam hal ini, informasi dimengerti

sebagai serangkaian pesan yang mungkin dapat digunakan

oleh penerimanya untuk melakukan suatu tindakan yang bisa

mengubah kesejahteraannya, meningkatkan kemampuan pe-

nerimanya untuk melakukan tindakan yang bersifat kritis dan

memperoleh nilai tertentu dari perubahan pesan-pesannya.

Informasi yang ada akan mempengaruhi proses terbentuknya

harga jual dan beli suatu surat berharga. Semakin lengkap

dan mudah akses terhadap informasinya, maka pasar modal

akan semakin baik.

Likuiditas menunjukkan kemampuan untuk membeli atau

menjual surat berharga tertentu secara cepat dan pada harga

yang tidak terlalu berbeda dengan harga sebelumnya, dengan

andaian tidak ada tambahan informasi baru sehingga likuidi-

tas menunjukkan kemampuan perusahaan dalam memenuhi

kewajiban keuangan berjangka pendek. Sementara efisiensi

internal suatu pasar modal bergantung pada tinggi rendah

biaya transaksi, biaya pajak dan biaya yang berkaitan dengan

financial distress di pasar modal ini . Semakin rendah

6.1 Saham 103

biaya transaksi maka semakin tinggi efisiensi internalnya. De-

ngan demikian efisiensi internal juga dapat disebut efisiensi

operasional.

Faktor penunjuk terakhir, efisiensi eksternal, menjelaskan

penyesuaian harga surat berharga terhadap informasi baru.

Karena efisiensi eksternal berkaitan dengan pasokan informasi,

maka efisiensi eksternal dikenal sebagai efisiensi informasi

(informational efficiency). Pendapat-pendapat yang berusaha

menjelaskan tentang hubungan pasokan informasi dan tingkat

efisiensi pasar dikenal sebagai hipotesis pasar efisien dan akan

diberikan penjelasan secara khusus pada bagian lain dalam

bab ini.

6.1 Saham

Saham adalah sertifikat yang menunjukkan bukti kepemilikan

suatu perusahaan, dan pemegang saham memiliki hak kla-

im atas penghasilan dan aktiva perusahaan. Wujud saham

adalah selembar kertas yang menerangkan bahwa pemiliknya

adalah pemilik perusahaan yang menerbitkan kertas ini .

Bila seorang pemodal membeli saham, maka ia akan meneri-

ma kertas yang menjelaskan bahwa ia memiliki perusahaan

penerbit saham ini .

Ada dua keuntungan bagi pemodal yang memiliki saham,

yakni dividen dan laba modal (capital gain). Dividen merupak-

an keuntungan emiten yang dibagikan kepada para pemegang

saham. Dividen diberikan setelah mendapatkan persetuju-

an dari para pemegang saham dalam RUPS (Rapat Umum

Pemegang Saham). Jika seorang pemodal ingin mendapatk-

an dividen, maka pemodal ini  harus memegang saham

104 Pasar Saham

ini  dalam kurun waktu yang relatif lama yaitu hingga

kepemilikan saham ini  berada dalam periode dimana

diakui sebagai pemegang saham yang berhak mendapatkan

dividen.

Umumnya dividen merupakan salah satu daya tarik bagi

pemegang saham yang berorientasi jangka panjang, misalnya

pemodal kelembagaan. Dividen yang dibagikan emiten dapat

berupa uang tunai dalam jumlah rupiah tertentu untuk setiap

saham atau dapat pula berupa sejumlah saham sehingga

jumlah saham yang dimiliki seorang pemodal akan bertambah

dengan adanya pembagian dividen saham ini .

Laba modal atau capital gain merupakan selisih harga beli

dan harga jual saham. Laba modal terbentuk dengan adanya

kegiatan perdagangan saham di pasar sekunder. Umumnya

pemodal dengan orientasi jangka pendek mengejar keuntungan

melalui laba modal ini. Misalnya seorang pemodal yang

membeli saham pada pagi hari dan kemudian menjualnya di

sore hari ketika harga saham mengalami kenaikan.

Saham dikenal dengan karakteristik high risk-high return.

Artinya, saham merupakan surat berharga yang memberikan

peluang keuntungan tinggi namun juga memiliki risiko tinggi.

Saham memungkinkan pemodal untuk mendapatkan hasil pe-

ngembalian (return), dalam hal ini laba modal, dalam jumlah

besar dalam waktu yang singkat. Namun, fluktuasi harga

saham juga dapat membuat pemodal mengalami kerugian

besar dalam waktu singkat.

Risiko tinggi karena berinvestasi dalam bentuk saham

diantaranya adalah tidak adanya pembagian dividen, rugi

modal (capital loss), risiko likuidasi, dan risiko penghapusan

(delisting) dari bursa.

6.2 Obligasi 105

Risiko tidak adanya pembagian dividen dapat terjadi jika

emiten tidak dapat memartikel kan laba pada tahun berjalan.

Bisa juga disebabkan RUPS memutuskan untuk tidak mem-

bagikan dividen kepada pemegang saham karena laba yang

diperoleh akan digunakan untuk perluasan usaha. Rugi modal

dapat terjadi apabila harga beli saham lebih tinggi dari har-

ga jualnya. Sedangkan jika emiten bangkrut atau dilikuidasi,

para pemegang saham memiliki hak klaim terakhir terhadap

aktiva perusahaan setelah seluruh kewajiban emiten dibayar.

Yang terburuk adalah jika tak ada lagi aktiva yang tersisa,

maka para pemegang saham tidak memperoleh apa-apa. Un-

tuk risiko penghapusan dari bursa hanya akan terjadi karena

beberapa alasan seperti dalam jangka waktu tertentu kinerja

emiten dinilai buruk oleh pasar sehingga volume perdagangan

saham cenderung menurun terus dalam waktu lama.

6.2 Obligasi

Obligasi adalah sertifikat yang berisi kontrak antara pemodal

dan perusahaan yang menyatakan bahwa pemodal ini 

telah meminjamkan sejumlah uang kepada perusahaan. Maka,

obligasi bisa pula disebut surat pengakuan hutang. Perusaha-

an yang menerbitkan obligasi mempunyai kewajiban untuk

membayar bunga secara berkala sesuai dengan jangka waktu

yang telah ditetapkan dan pada saat jatuh tempo perusahaan

harus membayar pokok pinjamannya.

Nilai suatu obligasi bergerak berlawanan arah dengan

perubahan suku bunga secara umum. Jika suku bunga secara

umum cenderung turun, maka nilai atau harga obligasi akan

meningkat, karena para pemodal cenderung untuk berinvestasi

106 Pasar Saham

pada obligasi. Sebaliknya, jika suku bunga secara umum

cenderung meningkat, maka nilai atau harga obligasi akan

turun, karena para pemodal cenderung untuk menanamkan

uangnya di bank.

Pemodal yang berinvestasi dalam bentuk obligasi akan

memperoleh beberapa keuntungan, yaitu mendapatkan bunga,

laba modal dan hak klaim pertama jika emiten bangkrut atau

dilikuidasi. Bunga obligasi ditetapkan dalam persentase dari

nilai nominal obligasi dan akan dibayarkan secara berkala

sampai jatuh tempo. Sebagai contoh, untuk obligasi dengan

kupon 10%, pemodal akan menerima Rp 10 setiap Rp 100

dari nilai nominal setiap tahun. Biasanya pembayaran bunga

dilakukan setiap 3 atau 6 bulan sekali.

Selain itu, sebelum jatuh tempo biasanya obligasi dipe-

rdagangkan di pasar sekunder, sehingga pemodal mempunyai

kesempatan untuk memperoleh laba modal. Laba modal juga

dapat diperoleh jika pemodal membeli obligasi dengan diskon

sehingga harga belinya lebih rendah dari nilai nominalnya,

sedangkan pada saat jatuh tempo perusahaan akan membayar

sesuai dengan nilai nominal obligasi.

Sebagaimana sifat investasi yang tidak hanya menjanjikan

hasil pengembalian tetapi juga menyimpan risiko, berinves-

tasi dalam bentuk obligasi juga mengandung sifat demikian.

Risiko-risiko itu antara lain, rugi modal, default atau gagal

bayar (kegagalan emiten untuk memenuhi ketentuan yang

ditetapkan dalam kontrak obligasi), dan callability. Risiko

yang disebutkan terakhir hanya akan terjadi pada obligasi

yang memang mencantumkannya sebagai salah satu kesepa-

katan dalam kontrak. Kesepakatan itu menjamin emiten

untuk mempunyai hak membeli kembali obligasi sebelum ja-

6.3 Derivatif 107

tuh tempo. Biasanya ini dilakukan pada saat suku bunga

secara umum menunjukkan kecenderungan menurun. Sebagai

gantinya, emiten akan memberikan premi kepada pemegang

obligasi.

6.3 Derivatif

Derivatif merupakan surat berharga yang nilainya bergantung

pada surat berharga yang mendasari atau surat berharga

acuan (underlying assets). Ada beberapa macam surat ber-

harga derivatif, seperti bukti right, waran (warrant), kontrak

berjangka (future), dan opsi (option).

Derivatif merupakan surat berharga yang sangat berisiko

jika tidak digunakan secara hati-hati (Bapepam, 2003, hlm.17).

Meskipun demikian derivatif juga dapat digunakan untuk me-

ngurangi risiko atau sebagai investasi spekulatif (Brigham

dan Houston, 2001). Contoh penggunaan derivatif untuk me-

ngurangi risiko dapat dilihat dari peristiwa berikut. Ketika

rupiah melemah terhadap dolar, laba bersih seorang importir

cenderung menurun. Importir ini dapat mengurangi risiko

dengan membeli derivatif yang meningkatkan nilai labanya

ketika nilai rupiah menurun. Tindakan importir seperti ini

disebut operasi hedging (lindung nilai, pemagaran), tujuannya

adalah untuk mengurangi risiko. Di sisi lain, spekulasi dengan

harapan memperoleh hasil pengembalian yang tinggi dapat

dilakukan dengan derivatif, namun risiko yang dihadapi juga

tinggi. Brigham dan Houston (2001) menyebutkan bahwa per-

usahaan Procter and Gamble di Amerika pernah mengalami

kerugian sebesar $150 juta karena investasi derivatif, bahk-

an perusahaan Orange Country di California jatuh bangkrut

108 Pasar Saham

karena spekulasi derivatif.

Dari beberapa macam derivatif di atas, bentuk derivatif

yang tergolong baru di negara kita  adalah surat berharga opsi

yang baru diperkenalkan di bursa efek Jakarta pada paro ke-

dua 2003 (Sinar Harapan, 2004). Dengan memakai  opsi,

seorang pemodal dapat meminimumkan batas kerugian dan

memaksimumkan laba yang akan diperolehnya. Sehingga jika

digunakan dengan cemat, opsi akan sangat berguna bagi peru-

sahaan atau individu untuk mengurangi risiko keuangan yang

membayangi. Karakteristik opsi yang bisa membatasi kerugi-

an yang akan diperoleh pemodal dan membuat keuntungan

yang tak terbatas nilainya ini sangat menarik untuk dikaji.

Apalagi, sejumlah besar kontrak sesuai dengan gambaran opsi

(Weston dan Copeland, 1995, hlm. 514). Misalnya, dalam per-

usahaan yang menerbitkan hutang, seorang pemegang saham

mempunyai hak (bukan kewajiban) untuk melunasi hutang

ini  dan berhak memiliki sisa nilai perusahaan pada saat

hutang jatuh tempo. Dan tentu saja pemegang saham itu

juga dapat menerima kebangkrutannya.

Jenis Opsi

Sifat Opsi Beli

Sifat Opsi Jual

Pentingnya Perdagangan Opsi

Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga

Opsi

7 — Opsi Saham

Opsi adalah suatu hak yang dimiliki oleh pemegangnya, buk-

an kewajiban yang harus dilaksanakan pada waktu kontrak

ini  jatuh tempo. Secara lebih lengkap, opsi merupakan

kontrak dengan penulis opsi (option writer) yang menjamin

pembeli opsi (option holder) suatu hak untuk membeli atau

menjual suatu surat berharga acuan (underlying asset) ke-

pada penulis opsi pada harga tertentu dalam periode waktu

tertentu. Penulis1 opsi memberikan hak ini sebagai ganti dari

pembayaran sejumlah uang yang diterimanya. Pembayaran

ini disebut dengan premi opsi. Harga surat berharga acuan

1Istilah penulis opsi mempunyai arti yang sama dengan penjual atau

penerbit opsi. Dalam artikel  ini, ketiga sebutan tadi kadang digunakan

secara bergantian semata-mata demi menyesuaikan dengan suasana kali-

mat yang menyertainya. Demikian pula istilah pembeli atau pemegang

opsi.

110 Opsi Saham

untuk dibeli atau dijual pada waktu yang akan datang disebut

dengan harga laksana (exercise price/strike price).2 Tanggal

yang setelahnya opsi dinyatakan tidak berlaku lagi disebut

tanggal jatuh tempo atau tanggal kadaluarsa (exercise date).

Diawal telah disinggung bahwa opsi merupakan suatu

hak, sehingga pemegang opsi dapat mengggunakannya atau

mengabaikannya. Pada saat jatuh tempo, jika pemegang opsi

tidak memakai  haknya, maka hak ini  akan hilang

dengan sendirinya. Dengan demikian, opsi menjadi tidak

bernilai lagi.

Sebagai salah satu surat berharga derivatif, opsi bergan-

tung pada surat berharga acuan. Saat pertama kali opsi

diperdagangkan, yakni mulai 26 April 1973 (Sartono, 1996,

hlm. 438) di The Chicago Board Option Exchange (CBOE),

surat berharga acuan untuk perdagangan opsi masih terbatas

pada saham, sehingga disebut opsi atas saham. Perkembang-

an perdagangan opsi mengalami peningkatan yang cukup

pesat. Pada bulan Nopember 1982 di Montreal Exchange, un-

tuk pertama kalinya opsi untuk valuta asing diperdagangkan

(Berlianta, 2005, hlm. 189). Sekarang, surat berharga acuan

yang mendasari opsi tidak lagi terbatas pada saham maupun

valuta asing, tetapi juga indeks saham, suku bunga dan future

treasury bond (Keown et al., 2000, hlm. 821-823). Sehingga,

2Alih bahasa yang lebih dekat mungkin adalah harga eksekusi atau

pelaksanaan. Namun, dalam beberapa situasi, penulis merasa istilah

’harga pelaksanaan’ acapkali menimbulkan